Треугольник ABC задан координатами вершин A(0;1), B(1;-4), C(5;2). Докажите, что∠C=∠B. Найдите длину...

Для доказательства того, что угол C равен углу B, можно воспользоваться теоремой об углах треугольника. Если два угла треугольника равны, то и третий угол также будет равен им. То есть, если ∠C=∠B, то треугольник ABC будет равнобедренным.

Для нахождения длины высоты AD треугольника ABC можно воспользоваться формулой для высоты равнобедренного треугольника: h = √(a^2 - (b/2)^2), где a - основание треугольника, b - сторона треугольника.

Для треугольника ABC основание a = BC = √((5-1)^2 + (2-(-4))^2) = √(16 + 36) = √52, а сторона b = AB = √((1-0)^2 + (-4-1)^2) = √(1 + 25) = √26.

Теперь можем найти длину высоты AD: h = √(52 - (26/2)^2) = √(52 - 13^2) = √(52 - 169) = √(-117).

Так как значение под корнем отрицательное, то это означает, что высота AD треугольника ABC является комплексным числом, и ее длину нельзя найти в действительных числах.

Чтобы доказать, что углы (\angle C) и (\angle B) равны и найти длину высоты (AD) треугольника (ABC), сначала рассчитаем длины сторон треугольника:

1. Вычислим длины сторон:

   • Сторона (AB): [ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} ]

   • Сторона (BC): [ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]

   • Сторона (CA): [ CA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} ]

2. Докажем, что (\angle C = \angle B):

   Стороны (AB) и (CA) равны ((\sqrt{26})), следовательно, треугольник (ABC) равнобедренный с основанием (BC). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть (\angle C = \angle B).

3. Найдем длину высоты (AD):

   Высота (AD) опущена на сторону (BC). Чтобы найти ее длину, используем уравнение прямой (BC) и точку (A).

   • Уравнение прямой (BC):

     Сначала найдем угловой коэффициент (k) прямой (BC): [ k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 + 4}{5 - 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ] Уравнение прямой (y = kx + b), где (b) — свободный член. Подставим координаты точки (B(1, -4)) для нахождения (b): [ -4 = \frac{3}{2} \cdot 1 + b \Rightarrow b = -4 - \frac{3}{2} = -\frac{8}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{11}{2} ] Уравнение прямой: [ y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2} ]

   • Найдем длину высоты (AD) с использованием формулы расстояния от точки до прямой: [ \text{Расстояние} = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} ] где уравнение прямой (ax + by + c = 0) имеет вид (3x - 2y - 11 = 0) и точка (A(0, 1)): [ \text{Расстояние} = \frac{|3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 - 11|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 - 11|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} ]

Таким образом, мы доказали, что (\angle C = \angle B), и вычислили длину высоты (AD), равную (\sqrt{13}).