ТРЕУГОЛЬНИК АВС АВ=ВС=20 АС= 24 НАЙТИ А) АВ*АС, ВА*ВС, СА*СВ ( СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ) Б) ДЛИНУ...

Давайте разберем каждый пункт последовательно.

Пункт А: Скалярное произведение векторов

Вначале обозначим вершины треугольника ( A ), ( B ) и ( C ) как точки в пространстве. Пусть ( \vec{A} ), ( \vec{B} ), и ( \vec{C} ) будут векторы, исходящие из начала координат и направленные к точкам ( A ), ( B ) и ( C ) соответственно.

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов ( \vec{u} ) и ( \vec{v} ) определяется как: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) ] где ( |\vec{u}| ) и ( |\vec{v}| ) — длины (модули) векторов, а ( \theta ) — угол между ними.

Для треугольника ( ABC ) с данными сторонами ( AB = BC = 20 ) и ( AC = 24 ), найдем углы треугольника, используя теорему косинусов.

Для угла ( \angle BAC ) (противолежащего стороне ( BC )): [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 20^2 = 20^2 + 24^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 400 = 400 + 576 - 960 \cos(\angle BAC) ] [ 960 \cos(\angle BAC) = 576 ] [ \cos(\angle BAC) = \frac{576}{960} = 0.6 ]

Теперь найдем скалярные произведения:

1. ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ): [ |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(\angle BAC) = 20 \cdot 24 \cdot 0.6 = 288 ]

2. ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} ) (здесь ( \angle ABC )): [ \cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{20^2 + 20^2 - 24^2}{2 \cdot 20 \cdot 20} = \frac{400 + 400 - 576}{800} = \frac{224}{800} = 0.28 ] [ |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos(\angle ABC) = 20 \cdot 20 \cdot 0.28 = 112 ]

3. ( \vec{CA} \cdot \vec{CB} ) (здесь ( \angle ACB )): [ \cos(\angle ACB) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{24^2 + 20^2 - 20^2}{2 \cdot 24 \cdot 20} = \frac{576 + 400 - 400}{960} = \frac{576}{960} = 0.6 ] [ |\vec{CA}| |\vec{CB}| \cos(\angle ACB) = 24 \cdot 20 \cdot 0.6 = 288 ]

Итак, скалярные произведения:

• ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 288 )
• ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 112 )
• ( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 288 )

Пункт Б: Длина окружности, описанной около треугольника

Радиус описанной окружности ( R ) можно найти через формулу для треугольника: [ R = \frac{abc}{4K} ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( K ) — его площадь.

Найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона: [ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 20 + 24}{2} = 32 ] [ K = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{32 \times 12 \times 12 \times 8} = \sqrt{36864} = 192 ]

Теперь радиус: [ R = \frac{20 \times 20 \times 24}{4 \times 192} = \frac{9600}{768} = 12.5 ]

Длина окружности: [ C = 2\pi R = 2 \pi \times 12.5 = 25\pi ]

Пункт В: Площадь круга, вписанного в треугольник

Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти через формулу: [ r = \frac{K}{s} = \frac{192}{32} = 6 ]

Площадь круга: [ A = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi ]

Итак, ответы: А) Скалярные произведения:

• ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 288 )
• ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 112 )
• ( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 288 )

Б) Длина окружности, описанной около треугольника: ( 25\pi )

В) Площадь круга, вписанного в треугольник: ( 36\pi )

A) Сначала найдем координаты векторов AB, BC и AC: AB = (0, 0) - (20, 0) = (-20, 0) BC = (20, 0) - (20, 20) = (0, -20) AC = (0, 0) - (24, 0) = (-24, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов: AB AC = (-20, 0) (-24, 0) = (-20)(-24) + 00 = 480 BC BA = (0, -20) (-20, 0) = 0(-20) + (-20)0 = 0 AC CB = (-24, 0) (0, -20) = (-24)0 + 0(-20) = 0

B) Длина окружности, описанной около треугольника, равна периметру треугольника. Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: AB + BC + AC = 20 + 20 + 24 = 64

C) Площадь круга, вписанного в треугольник, можно найти по формуле: S = r p, где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника. p = (AB + BC + AC) / 2 = 64 / 2 = 32 r = S / p = (S = SABC) / p = (SABC = sqrt(p(p-AB)(p-BC)(p-AC))) / p

SABC = sqrt(32(32-20)(32-20)(32-24)) = sqrt(3212128) = sqrt(36864) = 192 r = 192 / 32 = 6

Таким образом, площадь круга, вписанного в треугольник ABC, равна 192, а радиус этого круга равен 6.