Треугольник PQR подобен треугольнику ABC , угол Q = углу B, угол R = углу C, PQ = 3 см, PR = 4 см, AB...

а) Поскольку треугольники PQR и ABC подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Известно, что PQ = 3 см и AB = 6 см, значит коэффициент подобия ( k = \frac{AB}{PQ} = \frac{6}{3} = 2 ). Зная это, можно найти длину стороны AC. Для этого умножим PR, которая равна 4 см, на коэффициент подобия:

[ AC = PR \times k = 4 \times 2 = 8 \text{ см} ]

Угол P совпадает с углом A (по теореме о соответствующих углах подобных треугольников), следовательно, угол P = 40 градусов.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Так как коэффициент подобия ( k = 2 ), то отношение площадей будет:

[ \frac{S{PQR}}{S{ABC}} = k^2 = 2^2 = 4 ]

в) Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника в отношении, равном отношению прилежащих сторон, которые она делит. В нашем случае биссектриса делит сторону QR. Для треугольника PQR мы имеем стороны PQ = 3 см и PR = 4 см. Таким образом, биссектриса делит QR в отношении 3 к 4. Это значит, что если обозначить за x отрезок QD и за y отрезок DR на стороне QR, где D - точка пересечения биссектрисы с QR, то ( \frac{x}{y} = \frac{PQ}{PR} = \frac{3}{4} ).

а) Для начала найдем сторону AC. Поскольку треугольники PQR и ABC подобны, мы можем использовать пропорциональность сторон:

PQ/AB = PR/AC 3/6 = 4/AC AC = 8 см

Теперь найдем угол P. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол P можно найти так:

P = 180 - Q - R P = 180 - 40 - 60 P = 80 градусов

б) Для нахождения отношения площадей треугольников PQR и ABC мы можем воспользоваться тем, что площадь треугольника пропорциональна произведению его сторон по синусу угла между ними:

S(PQR)/S(ABC) = (PQPRsin(A))/(ABACsin(B)) S(PQR)/S(ABC) = (34sin(40))/(68sin(60)) S(PQR)/S(ABC) ≈ 0.347

в) Чтобы найти отношение, в котором биссектриса угла Р делит сторону PQ, мы можем воспользоваться теоремой биссектрисы:

BP/PQ = BR/PR BP/3 = BR/4 BP = 3*BR/4

Отношение, в котором биссектриса угла Р делит сторону PQ, равно 3:4.

а) AC = 8 см, угол P = 100 градусов б) Отношение площадей треугольника PQR и треугольника ABC равно 3/4 в) Биссектриса угла R делит сторону PQ в отношении 3:4.