У треугольника АВС: А(1;-8), В(3;-4), С(2;-5). Найти длину средней линии MN треугольника АВС, где точки...

Длина средней линии MN равна половине суммы длин сторон треугольника, содержащих эту линию. Поэтому нужно найти длины сторон треугольника АВС и найти их среднее значение.

Чтобы найти длину средней линии ( MN ) треугольника ( ABC ), сначала нужно определить координаты точек ( M ) и ( N ), которые являются серединами сторон ( AC ) и ( AB ) соответственно.

1. Найдем координаты точки ( M ):

   Точка ( M ) — это середина отрезка ( AC ). Координаты ( M ) находятся по формуле средней точки: [ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ] Для ( A(1, -8) ) и ( C(2, -5) ) получаем: [ M\left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{-8 + (-5)}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, \frac{-13}{2}\right) ]

2. Найдем координаты точки ( N ):

   Точка ( N ) — это середина отрезка ( AB ). Координаты ( N ) также находятся по формуле средней точки: [ N\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ] Для ( A(1, -8) ) и ( B(3, -4) ) получаем: [ N\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{-8 + (-4)}{2}\right) = N\left(2, -6\right) ]

3. Найдем длину средней линии ( MN ):

   Длина отрезка ( MN ) находится по формуле расстояния между двумя точками: [ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] Подставляем координаты ( M\left(\frac{3}{2}, \frac{-13}{2}\right) ) и ( N(2, -6) ): [ MN = \sqrt{\left(2 - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(-6 - \frac{-13}{2}\right)^2} ] Упрощаем выражения: [ MN = \sqrt{\left(\frac{4}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(-6 + \frac{13}{2}\right)^2} ] [ MN = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{12}{2} + \frac{13}{2}\right)^2} ] [ MN = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} ] [ MN = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} ] [ MN = \sqrt{\frac{2}{4}} ] [ MN = \sqrt{\frac{1}{2}} ] [ MN = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, длина средней линии ( MN ) треугольника ( ABC ) равна ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Для нахождения длины средней линии MN треугольника АВС нужно вычислить сначала координаты середины стороны АС и АВ, а затем применить формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Координаты середины стороны АС можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат вершин треугольника: М(1.5; (-8-5)/2 = -6.5)

Координаты середины стороны АВ: N((1+3)/2 = 2, (-8-4)/2 = -6)

Теперь применим формулу для нахождения расстояния между точками M и N: d = √((2-1.5)^2 + (-6-(-6.5))^2) d = √(0.5^2 + 0.5^2) d = √(0.25 + 0.25) d = √0.5 d ≈ 0.707

Таким образом, длина средней линии MN треугольника АВС равна приблизительно 0.707.