Укажите номера верных суждений: модуль суммы двух векторов не превосходит суммы модулей этих векторов...

1) модуль суммы двух векторов не превосходит суммы модулей этих векторов 3) хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра

1) Верное суждение: хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра. 3) Верное суждение: площадь круга пропорциональна его радиусу.

Давайте разберем каждое из данных суждений.

1. Модуль суммы двух векторов не превосходит суммы модулей этих векторов.

   Это утверждение является верным и представляет собой треугольное неравенство для векторов. Для любых двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) выполняется неравенство: [ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|. ] Это неравенство следует из неравенства треугольника в геометрии, которое утверждает, что длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон.

2. Любые два правильных девятиугольника подобны.

   Это утверждение также верно. Правильные многоугольники с одинаковым числом сторон всегда подобны друг другу, так как они имеют одинаковые углы и соотношения сторон. Для правильных девятиугольников это также справедливо, поскольку все их стороны равны и все внутренние углы равны.

3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.

   Это утверждение является верным. В окружности хорды равны тогда и только тогда, когда расстояния от центра окружности до этих хорд равны. Если хорды равноудалены от центра, то они перпендикулярны радиусам, проведенным к точкам их середины, и имеют одинаковую длину.

4. Площадь круга пропорциональна его радиусу.

   Это утверждение неверно. Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Формула площади круга (S) выражается как: [ S = \pi r^2, ] где (r) — радиус круга. Таким образом, площадь увеличивается пропорционально квадрату радиуса, а не самому радиусу.

Итак, верными являются суждения 1, 2 и 3.