Упростите выражение вектора AB+CA+BD+DC

Чтобы упростить выражение вектора ( \mathbf{AB} + \mathbf{CA} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} ), сначала рассмотрим каждый из векторов и попробуем упростить их с помощью правил векторной алгебры.

1. Определение векторов:

   • (\mathbf{AB}) — это вектор от точки (A) к точке (B).
   • (\mathbf{CA}) — это вектор от точки (C) к точке (A).
   • (\mathbf{BD}) — это вектор от точки (B) к точке (D).
   • (\mathbf{DC}) — это вектор от точки (D) к точке (C).

2. Упрощение суммы векторов: Рассмотрим выражение ( \mathbf{AB} + \mathbf{CA} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} ).

   Перепишем его, используя свойства векторов: [ \mathbf{AB} + \mathbf{CA} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = (\mathbf{AB} + \mathbf{BD}) + (\mathbf{CA} + \mathbf{DC}) ]

   Теперь заметим, что векторы (\mathbf{CA}) и (\mathbf{DC}) можно объединить: [ \mathbf{CA} + \mathbf{DC} = \mathbf{DA} ] (поскольку (\mathbf{CA} = -\mathbf{AC}) и (\mathbf{DC} = -\mathbf{CD}), то (\mathbf{CA} + \mathbf{DC} = -(\mathbf{AC} + \mathbf{CD}) = -\mathbf{AD})).

   Далее, (\mathbf{AB} + \mathbf{BD} = \mathbf{AD}).

3. Итоговое упрощение: Таким образом, полное выражение упрощается до: [ \mathbf{AB} + \mathbf{CA} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \mathbf{AD} + \mathbf{DA} = \mathbf{0} ]

   Поскольку вектор (\mathbf{AD} + \mathbf{DA} = \mathbf{0}) (т.к. (\mathbf{DA} = -\mathbf{AD})), то итоговое выражение равно нулевому вектору.

Таким образом, упрощённое выражение векторной суммы ( \mathbf{AB} + \mathbf{CA} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} ) равно нулевому вектору (\mathbf{0}).

Для упрощения данного выражения можно сначала переписать его в виде суммы двух векторов: AB + CA + (BD + DC).

Затем мы можем заметить, что вектор CA равен вектору -AC (вектор, направленный от точки C к точке A, но с противоположным направлением), а вектор DC равен вектору -CD (вектор, направленный от точки D к точке C, но с противоположным направлением).

Таким образом, упрощенное выражение будет выглядеть следующим образом: AB - AC + BD - CD.

При необходимости, векторы AB и BD, а также AC и CD, можно сложить для получения более конкретного ответа.