В четырехугольнике ABCD, AB=CD, ∠ABD=40°, ∠CDB=40° докажите что ABCD - параллелограмм.

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны (сумма углов в параллелограмме равна 360°).

Чтобы доказать, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом при заданных условиях, рассмотрим следующее:

1. Дано: (AB = CD), (\angle ABD = 40^\circ), (\angle CDB = 40^\circ).

2. Требуется доказать: (ABCD) — параллелограмм.

3. Доказательство:

   • Рассмотрим треугольники (\triangle ABD) и (\triangle CDB).

   • Из условия имеем:

     • Сторона (AB = CD)
     • Угол (\angle ABD = \angle CDB = 40^\circ)

   • Так как (\angle ABD = \angle CDB) и (AB = CD), треугольники (\triangle ABD) и (\triangle CDB) равны по второй признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

     Следовательно, (\triangle ABD \cong \triangle CDB).

   • Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть (BD = BD) (общая сторона), и (\angle ADB = \angle CBD).

   • Так как (\triangle ABD \cong \triangle CDB), (\angle ADB = \angle CBD).

   • Рассмотрим теперь четырехугольник (ABCD):

     • У нас есть две пары равных сторон: (AB = CD) и (AD = BC) (из равенства треугольников).

   • В параллелограмме противоположные стороны равны. Так как в нашем случае (AB = CD) и (AD = BC), это условие выполнено.

   • Также противоположные углы в параллелограмме равны. Мы доказали, что (\angle ADB = \angle CBD), и что они равны 40 градусов, что подтверждает, что противоположные углы равны (по построению, так как (\angle ABD) и (\angle CDB) равны тоже).

4. Вывод: Четырехугольник (ABCD) является параллелограммом, так как противоположные стороны равны ((AB = CD), (AD = BC)), и противоположные углы равны, что соответствует определению параллелограмма.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Из условия задачи AB=CD. Также известно, что ∠ABD=40° и ∠CDB=40°. Так как угол при основании равнобедренного треугольника равен, то ∠ABD=∠ADB и ∠CDB=∠CBD. Таким образом, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, стороны AD и BC равны и параллельны.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника ABCD равны и параллельны, что делает его параллелограммом.