В четырёхугольнике ABCD AB=CD уголABD=50 градусов угол CDB=50 докажите что ABCD параллелограмм

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся следующими свойствами и фактами.

1. Равенство сторон и углов: По условию задачи нам дано, что ( AB = CD ) и ( \angle ABD = \angle CDB = 50^\circ ).

2. Рассмотрим треугольники ∆ABD и ∆CDB:

   • У этих треугольников ( AB = CD ) (по условию),
   • ( \angle ABD = \angle CDB ) (по условию),
   • Общая сторона ( BD ) является общей для обоих треугольников.

   Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, следовательно, по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона), треугольники ∆ABD и ∆CDB равны.

3. Следствия равенства треугольников:

   • Из равенства треугольников следует, что ( \angle ADB = \angle CBD ), так как эти углы являются соответственными углами равных треугольников.
   • Кроме того, из равенства треугольников следует, что ( AD = BC ) (соответствующие стороны равных треугольников).

4. Свойства параллелограмма:

   • Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
   • Так как ( \angle ADB = \angle CBD ), это означает, что прямые ( AD ) и ( BC ) параллельны (как альтернативные внутренние углы при параллельных прямых и секущей).

5. Заключение: Поскольку в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны ( AD ) и ( BC ) равны и параллельны, а также противоположные стороны ( AB ) и ( CD ) равны (по условию), то ABCD является параллелограммом по определению.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Из условия известно, что AB = CD и угол ABD = угол CDB = 50 градусов.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них равны две пары углов (угол ABD = угол CDB = 50 градусов) и одна сторона (BD общая). Таким образом, по признаку равенства треугольников эти треугольники равны.

Следовательно, сторона AD равна стороне BC (по равенству сторон теоремы о равных треугольниках).

Таким образом, противоположные стороны AB и CD равны, а значит, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.