В четырехугольнике MPKH угол PMK= углу HKM, PK параллельно MH.Через точку пересечения диагоналей проведена...

Чтобы доказать, что отрезки ( AP ) и ( HB ) равны, рассмотрим четырехугольник ( MPKH ), в котором угол ( \angle PMK = \angle HKM ) и ( PK \parallel MH ). Это значит, что четырехугольник имеет определенные свойства, которые мы можем использовать в доказательстве.

1. Свойства параллельных линий и углов: Поскольку ( PK \parallel MH ), углы ( \angle PKM ) и ( \angle MHK ) будут равны как накрест лежащие углы. Это следует из того, что если две линии параллельны, то накрест лежащие углы равны.

2. Равенство треугольников: У нас уже есть равенство углов ( \angle PMK = \angle HKM ) и ( \angle PKM = \angle MHK ). Эти равенства углов указывают на подобие треугольников ( \triangle PMK ) и ( \triangle KHM ).

3. Свойства диагоналей: Диагонали четырехугольника пересекаются в некоторой точке. Пусть точка пересечения диагоналей ( MP ) и ( KH ) будет точкой ( O ). Через эту точку проведена прямая, пересекающая ( PK ) и ( MH ) в точках ( A ) и ( B ) соответственно.

4. Теорема о пропорциональных отрезках: В подобных треугольниках ( \triangle PAO ) и ( \triangle HOB ), мы можем использовать свойство, что отношения соответствующих отрезков равны. То есть, [ \frac{AP}{PO} = \frac{HB}{BO} ] Поскольку точки ( A ) и ( B ) лежат на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей и параллельны, то отрезки ( AP ) и ( HB ) равны.

5. Заключение: Таким образом, из вышеуказанных свойств и теорем следует, что ( AP = HB ).

В результате мы доказали, что отрезки ( AP ) и ( HB ) равны, используя свойства параллельных линий и подобия треугольников.

Для доказательства равенства AP=HB воспользуемся теоремой подобия треугольников.

Поскольку угол PMK равен углу HKM, то треугольники PMK и HKM подобны по углу. Также, учитывая, что PK параллельно MH, имеем, что угол PKM равен углу MKH, что также говорит о их подобности.

Получаем, что треугольники PMK и HKM подобны по двум углам, следовательно, они подобны в целом.

Из подобия треугольников PMK и HKM следует, что отношение сторон PM/KH равно отношению сторон PK/MH.

Теперь рассмотрим треугольники APM и BHM. Так как прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, параллельна сторонам PK и MH, то треугольники APM и BHM также подобны по двум углам.

Следовательно, отношение сторон AP/BH равно отношению сторон PM/KH, которое равно отношению сторон PK/MH.

Из этого следует, что AP=HB. Доказательство завершено.