В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2,...

Для решения задачи начнем с анализа геометрии призмы и цилиндра, в который она вписана.

Шаг 1: Определение оснований призмы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами, равными 2 и ( 2\sqrt{3} ) (в соответствии с углом ( 30^\circ )). Так как угол ( 30^\circ ) противолежит меньшему катету, то:

• Один катет (прилежащий к углу ( 30^\circ )) равен 2.
• Другой катет (противолежащий углу ( 30^\circ )) равен ( 2 \cdot \tan(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}/\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ).

Таким образом, основание призмы имеет следующие размеры:

• Один катет: ( a = 2 )
• Другой катет: ( b = 2\sqrt{3} )

Шаг 2: Вычисление площади основания призмы

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ]

Шаг 3: Определение высоты призмы

Диагональ большей боковой грани призмы составляет угол в ( 45^\circ ) с плоскостью основания. Чтобы найти высоту призмы ( h ), обозначим диагональ как ( d ).

Сначала найдем длину диагонали. Боковая грань призмы – это прямоугольник с высотой ( h ) и основанием, равным длине гипотенузы треугольника.

Гипотенуза прямоугольного треугольника (основание призмы): [ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 ]

Теперь найдём длину диагонали боковой грани: [ d = \sqrt{h^2 + c^2} = \sqrt{h^2 + 4^2} = \sqrt{h^2 + 16} ] Согласно условию, угол между диагональю и основанием равен ( 45^\circ ). Тогда: [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{4} \implies h = 4 ]

Шаг 4: Объем призмы

Объем призмы ( V{prism} ) вычисляется по формуле: [ V{prism} = S \cdot h = (2\sqrt{3}) \cdot 4 = 8\sqrt{3} ]

Шаг 5: Объем цилиндра

Цилиндр, в который вписана призма, имеет основание, равное окружности, вписанной в основание призмы. Радиус этой окружности равен ( r = \frac{a + b - c}{2} ) (где ( c ) - гипотенуза, ( a ) и ( b ) - катеты). Но проще будет использовать радиус описанной окружности.

Радиус ( R ) описанной окружности прямоугольного треугольника: [ R = \frac{c}{2} = \frac{4}{2} = 2 ] Объем цилиндра ( V{cylinder} ): [ V{cylinder} = \pi R^2 h = \pi (2^2) \cdot 4 = 16\pi ]

Ответ

Таким образом, объем цилиндра равен: [ V_{cylinder} = 16\pi ]

Для решения задачи начнем с анализа и определения параметров цилиндра и призмы.

Шаг 1. Исходные данные

1. Призма вписана в цилиндр. Основанием призмы является прямоугольный треугольник.
2. Один из катетов треугольника равен ( a = 2 ).
3. Прилежащий угол прямого треугольника равен ( 30^\circ ).
4. Диагональ большей боковой грани призмы составляет угол ( 45^\circ ) с плоскостью основания.

Цель — найти объем цилиндра.

Шаг 2. Найдем параметры основания призмы.

Поскольку основание призмы — прямоугольный треугольник, обозначим:

• ( AB = a = 2 ) — катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ),
• ( BC ) — второй катет,
• ( AC ) — гипотенуза.

Используем свойства прямоугольного треугольника:

1. ( \tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{BC}{AB} ). Подставим значения: [ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad AB = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{BC}{2}. ] Умножим обе части на ( 2 ): [ BC = \frac{2\sqrt{3}}{3}. ]

2. Найдем гипотенузу ( AC ) по теореме Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2}. ] Упростим: [ AC = \sqrt{4 + \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{4 + \frac{12}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3} + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}. ]

Шаг 3. Радиус основания цилиндра.

Основание цилиндра — это окружность. Призма вписана в цилиндр, значит, гипотенуза треугольника (диагональ основания призмы) является диаметром основания цилиндра. Поэтому радиус цилиндра ( R ) равен половине гипотенузы: [ R = \frac{AC}{2} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. ]

Шаг 4. Угол между диагональю боковой грани призмы и основанием.

Диагональ большей боковой грани призмы составляет угол ( 45^\circ ) с плоскостью основания. Это условие поможет найти высоту ( H ) цилиндра.

Рассмотрим большую боковую грань призмы. Эта грань представляет собой прямоугольник с одной стороной, равной гипотенузе треугольника (( AC )), а другой — высоте призмы (( H )). Диагональ этой грани равна: [ d = \sqrt{AC^2 + H^2}. ]

Из условия задачи диагональ ( d ) наклонена к плоскости основания под углом ( 45^\circ ). Это значит, что: [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{H}{AC}. ] Следовательно: [ H = AC = \frac{4\sqrt{3}}{3}. ]

Шаг 5. Объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: [ V = \pi R^2 H. ] Подставим значения ( R = \frac{2\sqrt{3}}{3} ) и ( H = \frac{4\sqrt{3}}{3} ): [ V = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}. ] Возведем ( R ) в квадрат: [ \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}. ] Подставим обратно: [ V = \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \pi \cdot \frac{16\sqrt{3}}{9}. ] Окончательно: [ V = \frac{16\sqrt{3}\pi}{9}. ]

Ответ:

Объем цилиндра равен: [ \boxed{\frac{16\sqrt{3}\pi}{9}} ]