В Δ ABC угол C=90°, cos B=4/5 Найдите cos внешнего угла при вершине A-?
В Δ ABC угол C=90°, cos B=4/5 Найдите cos внешнего угла при вершине A-?
В данном треугольнике ( \triangle ABC ) угол ( C ) является прямым, то есть ( \angle C = 90^\circ ). Нам также известно, что ( \cos B = \frac{4}{5} ).
Для начала найдем синус угла ( B ) с использованием тригонометрической тождества: [ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 ] Подставим известное значение ( \cos B ): [ \sin^2 B + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 B + \frac{16}{25} = 1 ] [ \sin^2 B = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ] [ \sin B = \frac{3}{5} ] (Так как угол ( B ) острый, берем положительное значение синуса.)
Теперь найдем косинус угла ( A ), используя тот факт, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), то есть ( \angle A + \angle B = 90^\circ ). Следовательно, ( \angle A = 90^\circ - \angle B ).
Косинус угла ( A ) равен синусу угла ( B ) (так как они являются дополнительными углами): [ \cos A = \sin B = \frac{3}{5} ]
Теперь найдем косинус внешнего угла при вершине ( A ). Внешний угол при вершине ( A ) равен сумме углов ( B ) и ( C ), то есть ( \angle_{ext} A = \angle B + \angle C = \angle B + 90^\circ ).
Косинус внешнего угла ( \angle{ext} A ) выражается через косинус внутреннего угла ( A ): [ \cos(\angle{ext} A) = -\cos A ] Так как ( \cos A = \frac{3}{5} ), то: [ \cos(\angle_{ext} A) = -\frac{3}{5} ]
Таким образом, косинус внешнего угла при вершине ( A ) равен ( -\frac{3}{5} ).
Для того чтобы найти косинус внешнего угла при вершине A в треугольнике ABC, мы можем использовать формулу косинусов.
Косинус внешнего угла при вершине A равен синусу угла B, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, нам нужно найти синус угла B.
Известно, что cos B = 4/5. Мы можем использовать тождество cos^2 B + sin^2 B = 1, чтобы найти синус угла B.
cos^2 B + sin^2 B = 1 (4/5)^2 + sin^2 B = 1 16/25 + sin^2 B = 1 sin^2 B = 1 - 16/25 sin^2 B = 9/25 sin B = 3/5
Таким образом, sin B = 3/5. Значит, cos внешнего угла при вершине A равен sin B = 3/5.
cos внешнего угла при вершине A равен sin B, то есть 3/5.
