В кубе abcda1b1c1d1 на ребре dd1 выбрана точка e так, что de:ed1=1:2. Вычислите косинус угла между прямыми...

Для решения задачи найдем сначала координаты всех необходимых точек и вычислим векторы, с которыми будем работать.

Шаг 1. Задание координат точек

Пусть куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) имеет ребро длины ( a ), и его вершины имеют следующие координаты:

• ( A(0, 0, 0) ),
• ( B(a, 0, 0) ),
• ( C(a, a, 0) ),
• ( D(0, a, 0) ),
• ( A_1(0, 0, a) ),
• ( B_1(a, 0, a) ),
• ( C_1(a, a, a) ),
• ( D_1(0, a, a) ).

На ребре ( DD_1 ) выбрана точка ( E ) так, что ( \frac{DE}{ED_1} = \frac{1}{2} ). Это деление определяет точку ( E ) как точку, делящую отрезок ( DD_1 ) в отношении ( 1:2 ) от ( D ) к ( D_1 ).

Координаты точки ( D ): ( (0, a, 0) ), Координаты точки ( D_1 ): ( (0, a, a) ).

Найдем координаты точки ( E ). Для этого используем формулу деления отрезка в заданном отношении: [ x_E = \frac{2 \cdot xD + 1 \cdot x{D_1}}{1 + 2}, \quad y_E = \frac{2 \cdot yD + 1 \cdot y{D_1}}{1 + 2}, \quad z_E = \frac{2 \cdot zD + 1 \cdot z{D_1}}{1 + 2}. ] Подставляем координаты ( D(0, a, 0) ) и ( D_1(0, a, a) ): [ x_E = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{3} = 0, \quad y_E = \frac{2 \cdot a + 1 \cdot a}{3} = a, \quad z_E = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot a}{3} = \frac{a}{3}. ] Итак, координаты точки ( E ): ( (0, a, \frac{a}{3}) ).

Шаг 2. Векторы ( \overrightarrow{AE} ) и ( \overrightarrow{CE} )

Теперь найдем векторы ( \overrightarrow{AE} ) и ( \overrightarrow{CE} ).

1. Координаты ( A(0, 0, 0) ), значит: [ \overrightarrow{AE} = (x_E - x_A, y_E - y_A, z_E - z_A) = (0 - 0, a - 0, \frac{a}{3} - 0) = (0, a, \frac{a}{3}). ]

2. Координаты ( C(a, a, 0) ), значит: [ \overrightarrow{CE} = (x_E - x_C, y_E - y_C, z_E - z_C) = (0 - a, a - a, \frac{a}{3} - 0) = (-a, 0, \frac{a}{3}). ]

Шаг 3. Косинус угла между векторами

Косинус угла между векторами ( \overrightarrow{AE} ) и ( \overrightarrow{CE} ) вычисляется по формуле: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\overrightarrow{CE}|}. ]

Скалярное произведение ( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE} ):

[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE} = (0)(-a) + (a)(0) + \left(\frac{a}{3}\right)\left(\frac{a}{3}\right) = 0 + 0 + \frac{a^2}{9} = \frac{a^2}{9}. ]

Длины векторов ( |\overrightarrow{AE}| ) и ( |\overrightarrow{CE}| ):

[ |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{10a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{10}}{3}. ] [ |\overrightarrow{CE}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{10a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{10}}{3}. ]

Косинус угла:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\overrightarrow{CE}|} = \frac{\frac{a^2}{9}}{\frac{a\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}} = \frac{\frac{a^2}{9}}{\frac{a^2 \cdot 10}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{1}{10}. ]

Ответ:

Косинус угла между прямыми ( AE ) и ( CE ) равен: [ \cos \theta = \frac{1}{10}. ]

Для решения задачи сначала определим координаты точек в кубе.

Пусть куб имеет следующие координаты:

• ( A(0, 0, 0) )
• ( B(1, 0, 0) )
• ( C(1, 1, 0) )
• ( D(0, 1, 0) )
• ( A_1(0, 0, 1) )
• ( B_1(1, 0, 1) )
• ( C_1(1, 1, 1) )
• ( D_1(0, 1, 1) )

Ребро ( DD_1 ) находится на координатах ( D(0, 1, 0) ) и ( D_1(0, 1, 1) ).

Поскольку точка ( E ) лежит на ребре ( DD_1 ) и делит его в отношении ( DE : ED_1 = 1 : 2 ), мы можем найти координаты точки ( E ).

Сначала определим длину отрезка ( DD_1 ):

• Длина отрезка ( DD_1 = 1 ) (так как это ребро куба).

Теперь, если ( DE = x ), то ( ED_1 = 2x ), и мы знаем, что ( DE + ED_1 = DD_1 ): [ x + 2x = 1 ] [ 3x = 1 ] [ x = \frac{1}{3} ]

Таким образом, ( DE = \frac{1}{3} ) и ( ED_1 = \frac{2}{3} ). Теперь можем найти координаты точки ( E ):

• ( E ) находится на отрезке ( DD_1 ) и его координаты будут ( (0, 1, \frac{1}{3}) ).

Теперь у нас есть все необходимые точки:

• ( A(0, 0, 0) )
• ( E(0, 1, \frac{1}{3}) )
• ( C(1, 1, 0) )

Теперь найдем векторы ( \overrightarrow{AE} ) и ( \overrightarrow{CE} ): [ \overrightarrow{AE} = E - A = (0, 1, \frac{1}{3}) - (0, 0, 0) = (0, 1, \frac{1}{3}) ] [ \overrightarrow{CE} = E - C = (0, 1, \frac{1}{3}) - (1, 1, 0) = (-1, 0, \frac{1}{3}) ]

Теперь найдем косинус угла ( \theta ) между этими векторами. Косинус угла определяется как: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{CE}|} ]

Сначала найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE} ): [ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE} = (0) \cdot (-1) + (1) \cdot (0) + \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = 0 + 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} ]

Теперь найдем длины векторов ( |\overrightarrow{AE}| ) и ( |\overrightarrow{CE}| ): [ |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} ]

[ |\overrightarrow{CE}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} ]

Теперь можем подставить все значения в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{\frac{1}{9}}{\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{1}{10} ]

Таким образом, косинус угла между прямыми ( AE ) и ( CE ) равен: [ \cos \theta = \frac{1}{10} ]