В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C1 и BA1D1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C1 и BA1D1.
Для нахождения угла между плоскостями AB1C1 и BA1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, сначала определим координаты вершин куба. Предположим, что куб имеет длину ребра 1 и расположен в координатной системе следующим образом:
Теперь определим плоскости AB1C1 и BA1D1.
Эта плоскость определяется тремя точками: A, B1 и C1.
Чтобы найти векторные направления в плоскости, можем взять два вектора:
Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормаль к плоскости AB1C1:
[ \vec{n_1} = \vec{AB1} \times \vec{AC1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} ]
Вычислим определитель:
[ \vec{n_1} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \hat{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \hat{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \hat{k} = (-1, 0, 1) ]
Эта плоскость определяется тремя точками: B, A1 и D1.
Аналогично, находим два вектора в этой плоскости:
Теперь найдем нормаль к плоскости BA1D1:
[ \vec{n_2} = \vec{BA1} \times \vec{BD1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} ]
Вычислим определитель:
[ \vec{n_2} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \hat{i} - (-1 \cdot 1 - 1 \cdot -1) \hat{j} + (-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) \hat{k} = (-1, 0, -1) ]
Теперь, когда мы имеем нормали к обеим плоскостям ( \vec{n_1} = (-1, 0, 1) ) и ( \vec{n_2} = (-1, 0, -1) ), мы можем найти угол между ними с помощью скалярного произведения:
[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} ]
Сначала вычислим скалярное произведение:
[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(-1) + (0)(0) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0 ]
Теперь вычислим длины векторов:
[ |\vec{n_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ] [ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]
Теперь подставляем в формулу для косинуса:
[ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0 ]
Это означает, что угол ( \theta ) равен 90 градусов (или ( \frac{\pi}{2} ) радиан).
Таким образом, угол между плоскостями AB1C1 и BA1D1 равен 90 градусов.
Чтобы найти угол между плоскостями AB1C1 и BA1D1 в кубе, можно использовать нормальные векторы этих плоскостей.
Плоскость AB1C1 содержит точки A(0,0,0), B1(1,0,1) и C1(1,1,1). Нормальный вектор плоскости AB1C1 можно найти, взяв векторы AB1 и AC1:
Плоскость BA1D1 содержит точки B(1,0,0), A1(0,0,1) и D1(0,1,1). Аналогично, найдем нормальный вектор:
Угол между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормальных векторов: [ \cos(\theta) = \frac{N1 \cdot N2}{|N1| |N2|}. ] Скалярное произведение N1 и N2: (-1, 0, 1) · (1, 1, 1) = -1 + 0 + 1 = 0.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что плоскости перпендикулярны.
Таким образом, угол между плоскостями AB1C1 и BA1D1 равен 90 градусов.
Давайте разберем задачу пошагово.
Куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ). Нужно найти угол между плоскостями ( AB_1C_1 ) и ( BA_1D_1 ).
Для удобства расположим куб в пространстве так, чтобы его вершины имели координаты:
Она проходит через точки ( A(0, 0, 0) ), ( B_1(1, 0, 1) ), ( C_1(1, 1, 1) ).
Чтобы найти векторное уравнение плоскости, определим два направляющих вектора:
Векторное произведение ( \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} ) даст нормальный вектор плоскости ( AB_1C_1 ): [ \vec{n_1} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(1 - 1) + \vec{k}(1 - 0) = -\vec{i} + \vec{k}. ] Нормальный вектор плоскости ( AB_1C_1 ): ( \vec{n_1} = (-1, 0, 1) ).
Она проходит через точки ( B(1, 0, 0) ), ( A_1(0, 0, 1) ), ( D_1(0, 1, 1) ).
Определим два направляющих вектора:
Векторное произведение ( \vec{BA_1} \times \vec{BD_1} ) даст нормальный вектор плоскости ( BA_1D_1 ): [ \vec{n_2} = \vec{BA_1} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(-1 - (-1)) + \vec{k}(-1 - 0) = -\vec{i} - \vec{k}. ] Нормальный вектор плоскости ( BA_1D_1 ): ( \vec{n_2} = (-1, 0, -1) ).
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами ( \vec{n_1} ) и ( \vec{n_2} ). Косинус угла вычисляется по формуле: [ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}, ] где:
Сначала найдём скалярное произведение: [ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0. ]
Длины нормальных векторов: [ |\vec{n_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}, ] [ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}. ]
Подставляем в формулу для косинуса: [ \cos \phi = \frac{|0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0. ]
Поскольку ( \cos \phi = 0 ), то угол между плоскостями равен: [ \phi = 90^\circ. ]
Угол между плоскостями ( AB_1C_1 ) и ( BA_1D_1 ) равен ( 90^\circ ).
