В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка O - центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите: а) угол...

а) Для начала найдем координаты точек A1, D1 и C. Так как ребро куба равно 1, то координаты точки A1 будут $0,1,1$, D1 - $1,0,1$, C - $1,1,0$.

Теперь найдем вектора A1O и D1C: A1O = OA1 - OO = $0,1,1$ - $0,0.5,0.5$ = $0,0.5,0.5$ D1C = CD1 = $1,1,0$ - $1,0,1$ = $0,1,-1$

Теперь найдем угол между векторами A1O и D1C по формуле скалярного произведения: cos$угол$ = (A1O D1C) / (|A1O| |D1C|) cos$угол$ = (00 + 0.51 + 0.5-1) / $sqrt(0^2+{0.5}^2+{0.5}^2$ sqrt$0^2+1^2+(-1$^2)) cos$угол$ = 0 / $sqrt(0.5$ * sqrt$2$) cos$угол$ = 0 / sqrt$1$ = 0

Отсюда получаем, что угол между прямыми A1O и D1C равен 90 градусов.

б) Расстояние от точки D до середины отрезка A1C1 можно найти, используя формулу для расстояния между двумя точками в пространстве: d = sqrt$(x2-x1$^2 + $y2-y1$^2 + $z2-z1$^2) / 2

где $x1,y1,z1$ - координаты точки D, $x2,y2,z2$ - координаты середины отрезка A1C1.

Координаты точки D: $1,0,1$ Координаты середины отрезка A1C1: $(0+1$ / 2, $1+1$ / 2, $1+0$ / 2) = $0.5,1,0.5$

Подставляем значения в формулу: d = sqrt$(0.5-1$^2 + $1-0$^2 + $0.5-1$^2) / 2 d = sqrt$(-0.5$^2 + 1^2 + $-0.5$^2) / 2 d = sqrt$0.25+1+0.25$ / 2 d = sqrt$1.5$ / 2 d = sqrt$3/2$ / 2

Таким образом, расстояние от точки D до середины отрезка A1C1 равно sqrt$3/2$ / 2.

Давайте решим каждый пункт задачи пошагово.

а) Нахождение угла между прямыми $A_{1}O$ и $D_{1}C$

Используем координаты для решения задачи. Предположим, что координаты точек куба следующие:

• $A(0,0,0$ )
• $B(1,0,0$ )
• $C(1,1,0$ )
• $D(0,1,0$ )
• $A_1(0,0,1$ )
• $B_1(1,0,1$ )
• $C_1(1,1,1$ )
• $D_1(0,1,1$ )

Центр грани $ABCD$ — точка $O$, которая будет иметь координаты $O(0.5,0.5,0$ ).

Найдем векторы $A_{1}O$ и $D_{1}C$:

• $A_{1}O=O-A_1=(0.5,0.5,0$ - $0,0,1$ = $0.5,0.5,-1$ )
• $D_{1}C=C-D_1=(1,1,0$ - $0,1,1$ = $1,0,-1$ )

Находим косинус угла между векторами: $\cos \theta =\frac{A_{1}O\cdot D_{1}C}{|A_{1}O|\cdot |D_{1}C|}$ $A_{1}O\cdot D_{1}C=0.5\cdot 1+0.5\cdot 0+(-1)\cdot (-1)=0.5+1=1.5$ $|A_{1}O|=\sqrt{{0.5}^2+{0.5}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{0.25+0.25+1}=\sqrt{1.5}$ $|D_{1}C|=\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$ $\cos \theta =\frac{1.5}{\sqrt{1.5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1.5}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\theta ={\cos }^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})={30}^{\circ }$

б) Расстояние от точки $D$ до середины отрезка $A_1{C}_1$

Найдем координаты середины отрезка $A_1{C}_1$:

• Середина $A_1{C}_1$ = $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = $0.5,0.5,1$ )

Расстояние от $D$ до середины $A_1{C}_1$:

• $D(0,1,0$ ) до $(0.5,0.5,1$ ) $\text{Расстояние}=\sqrt{(0.5-0{)}^2+(0.5-1{)}^2+(1-0{)}^2}$ $=\sqrt{0.25+0.25+1}=\sqrt{1.5}$ $=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Таким образом, ответы на задачу: а) ${30}^{\circ }$ б) $\sqrt{\frac{3}{2}}$