В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка O - центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите: а) угол...

а) Для начала найдем координаты точек A1, D1 и C. Так как ребро куба равно 1, то координаты точки A1 будут (0, 1, 1), D1 - (1, 0, 1), C - (1, 1, 0).

Теперь найдем вектора A1O и D1C: A1O = OA1 - OO = (0, 1, 1) - (0, 0.5, 0.5) = (0, 0.5, 0.5) D1C = CD1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)

Теперь найдем угол между векторами A1O и D1C по формуле скалярного произведения: cos(угол) = (A1O D1C) / (|A1O| |D1C|) cos(угол) = (00 + 0.51 + 0.5-1) / (sqrt(0^2 + 0.5^2 + 0.5^2) sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2)) cos(угол) = 0 / (sqrt(0.5) * sqrt(2)) cos(угол) = 0 / sqrt(1) = 0

Отсюда получаем, что угол между прямыми A1O и D1C равен 90 градусов.

б) Расстояние от точки D до середины отрезка A1C1 можно найти, используя формулу для расстояния между двумя точками в пространстве: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) / 2

где (x1, y1, z1) - координаты точки D, (x2, y2, z2) - координаты середины отрезка A1C1.

Координаты точки D: (1, 0, 1) Координаты середины отрезка A1C1: ((0 + 1) / 2, (1 + 1) / 2, (1 + 0) / 2) = (0.5, 1, 0.5)

Подставляем значения в формулу: d = sqrt((0.5 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0.5 - 1)^2) / 2 d = sqrt((-0.5)^2 + 1^2 + (-0.5)^2) / 2 d = sqrt(0.25 + 1 + 0.25) / 2 d = sqrt(1.5) / 2 d = sqrt(3/2) / 2

Таким образом, расстояние от точки D до середины отрезка A1C1 равно sqrt(3/2) / 2.

Давайте решим каждый пункт задачи пошагово.

а) Нахождение угла между прямыми ( A_1O ) и ( D_1C )

Используем координаты для решения задачи. Предположим, что координаты точек куба следующие:

• ( A(0,0,0) )
• ( B(1,0,0) )
• ( C(1,1,0) )
• ( D(0,1,0) )
• ( A_1(0,0,1) )
• ( B_1(1,0,1) )
• ( C_1(1,1,1) )
• ( D_1(0,1,1) )

Центр грани ( ABCD ) — точка ( O ), которая будет иметь координаты ( O(0.5, 0.5, 0) ).

Найдем векторы ( A_1O ) и ( D_1C ):

• ( A_1O = O - A_1 = (0.5, 0.5, 0) - (0, 0, 1) = (0.5, 0.5, -1) )
• ( D_1C = C - D_1 = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) = (1, 0, -1) )

Находим косинус угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{A_1O \cdot D_1C}{|A_1O| \cdot |D_1C|} ] [ A_1O \cdot D_1C = 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 0.5 + 1 = 1.5 ] [ |A_1O| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5} ] [ |D_1C| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} ] [ \cos \theta = \frac{1.5}{\sqrt{1.5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \theta = \cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^{\circ} ]

б) Расстояние от точки ( D ) до середины отрезка ( A_1C_1 )

Найдем координаты середины отрезка ( A_1C_1 ):

• Середина ( A_1C_1 ) = ( \left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (0.5, 0.5, 1) )

Расстояние от ( D ) до середины ( A_1C_1 ):

• ( D(0,1,0) ) до ( (0.5, 0.5, 1) ) [ \text{Расстояние} = \sqrt{(0.5 - 0)^2 + (0.5 - 1)^2 + (1 - 0)^2} ] [ = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5} ] [ = \sqrt{\frac{3}{2}} ]

Таким образом, ответы на задачу: а) ( 30^\circ ) б) ( \sqrt{\frac{3}{2}} )