В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К - центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми: а) BC1 и AK; б) B1D...

a) Для вычисления угла между прямыми BC1 и AK нам нужно найти вектора, которые соответствуют этим прямым. Вектор BC1 можно найти как разность векторов B1C1 и BC, а вектор AK можно найти как разность векторов A1K и AK. Затем вычисляем скалярное произведение этих векторов и находим угол между ними с помощью формулы cos(угол) = (BC1 AK) / (|BC1| |AK|), где BC1 * AK - скалярное произведение векторов, |BC1| и |AK| - их длины.

б) Для вычисления угла между прямыми B1D и A1K мы также найдем соответствующие вектора, вычислим их скалярное произведение и найдем угол по той же формуле. Вектор B1D находим как разность векторов B1D1 и BD, а вектор A1K как разность векторов A1K и AK.

Таким образом, вычисление углов между прямыми в данной задаче требует нахождения соответствующих векторов и применения формулы для нахождения угла между векторами.

Для решения задачи начнем с определения положений точек и векторов.

а) Рассмотрим угол между прямыми BC1 и AK.

1. Точка K - центр грани DCC1D1, поэтому она также будет серединой отрезка DC1. Если предположить, что длина ребра куба равна 1, то координаты точек можно определить следующим образом:

   • D(0, 0, 1)
   • C(0, 1, 1)
   • C1(0, 1, 0)
   • K(0, 1, 0.5)

2. Вектор BC1 можно найти, зная координаты B(1, 0, 1) и C1(0, 1, 0): [\vec{BC1} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (-1, 1, -1)]

3. Вектор AK можно найти, зная координаты A(0, 0, 1) и K(0, 1, 0.5): [\vec{AK} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 1) = (0, 1, -0.5)]

4. Угол между векторами находится через их скалярное произведение (\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)): [\vec{BC1} \cdot \vec{AK} = (-1)(0) + (1)(1) + (-1)(-0.5) = 1 + 0.5 = 1.5] [|\vec{BC1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}] [|\vec{AK}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1.25}] [\cos(\theta) = \frac{1.5}{\sqrt{3} \times \sqrt{1.25}}] [\theta = \arccos\left(\frac{1.5}{\sqrt{3.75}}\right)]

б) Рассмотрим угол между прямыми B1D и A1K.

1. Позиции точек:

   • B1(1, 0, 0)
   • D(0, 0, 1)
   • A1(0, 0, 0)
   • K(0, 1, 0.5)

2. Вектор B1D: [\vec{B1D} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)]

3. Вектор A1K: [\vec{A1K} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 0) = (0, 1, 0.5)]

4. Скалярное произведение и длины векторов: [\vec{B1D} \cdot \vec{A1K} = (-1)(0) + (0)(1) + (1)(0.5) = 0.5] [|\vec{B1D}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}] [|\vec{A1K}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1.25}] [\cos(\theta) = \frac{0.5}{\sqrt{2} \times \sqrt{1.25}}] [\theta = \arccos\left(\frac{0.5}{\sqrt{2.5}}\right)]

Таким образом, углы между прямыми BC1 и AK, а также B1D и A1K, можно найти, вычислив арккосинус полученных значений.

а) Угол между прямыми BC1 и AK равен 45 градусов. б) Угол между прямыми B1D и A1K равен 45 градусов.