В кубе АВСDA1B1C1D1 на ребрах АА1 и СС1 выбраны точки M и N так, что АМ:МА1=3:1 и СN:NC1=1:2. Найдите...

Рассмотрим куб ( ABCD A_1B_1C_1D_1 ) с вершинами ( A, B, C, D ) на нижней грани и вершинами ( A_1, B_1, C_1, D_1 ) на верхней грани. Обозначим длину ребра куба через ( a ).

1. Координаты точек:

   • Точка ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ).
   • Точка ( A_1 ) имеет координаты ( (0, 0, a) ).
   • Точка ( C ) имеет координаты ( (a, a, 0) ).
   • Точка ( C_1 ) имеет координаты ( (a, a, a) ).

2. Координаты точек ( M ) и ( N ):

   • Точка ( M ) делит отрезок ( AA_1 ) в отношении ( 3:1 ). Следовательно, координаты точки ( M ) можно найти как: [ M = \left(0, 0, \frac{3}{4}a\right) ]
   • Точка ( N ) делит отрезок ( CC_1 ) в отношении ( 1:2 ). Следовательно, координаты точки ( N ) можно найти как: [ N = \left(a, a, \frac{1}{3}a\right) ]

3. Направляющие векторы:

   • Направляющий вектор прямой ( MN ): [ \overrightarrow{MN} = \left(a - 0, a - 0, \frac{1}{3}a - \frac{3}{4}a\right) = \left(a, a, -\frac{5}{12}a\right) ]
   • Направляющий вектор прямой ( AC ): [ \overrightarrow{AC} = \left(a - 0, a - 0, 0 - 0\right) = (a, a, 0) ]

4. Косинус угла между векторами: Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{AC}|} ]

   Скалярное произведение векторов: [ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a + a \cdot a + \left(-\frac{5}{12}a\right) \cdot 0 = a^2 + a^2 = 2a^2 ]

   Длины векторов: [ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{a^2 + a^2 + \left(-\frac{5}{12}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + \frac{25}{144}a^2} = a \sqrt{2 + \frac{25}{144}} = a \sqrt{\frac{288 + 25}{144}} = a \sqrt{\frac{313}{144}} = a \frac{\sqrt{313}}{12} ] [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} ]

   Теперь подставим значения в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{2a^2}{\left(a \frac{\sqrt{313}}{12}\right) \cdot (a \sqrt{2})} = \frac{2a^2}{a^2 \frac{\sqrt{313}}{12} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{313}}{12} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{626}} = \frac{24}{\sqrt{626}} ]

   Упростим выражение: [ \cos \theta = \frac{24}{\sqrt{626}} = \frac{24 \cdot \sqrt{626}}{626} = \frac{24}{\sqrt{626}} ]

5. Угол (\theta): Чтобы найти сам угол, надо воспользоваться арккосинусом: [ \theta = \arccos\left(\frac{24}{\sqrt{626}}\right) ]

Таким образом, угол между прямыми ( MN ) и ( AC ) равен (\arccos\left(\frac{24}{\sqrt{626}}\right)).

Угол между прямыми MN и AC равен 45 градусов.

Для нахождения угла между прямыми MN и AC нам необходимо определить координаты точек M, N, A и C в пространстве.

Пусть координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 равны соответственно (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1).

Так как AM:MA1=3:1, то координаты точки M равны (0.75, 0, 0.25), а так как CN:NC1=1:2, то координаты точки N равны (1, 0.33, 0.67).

Теперь найдем векторы MA, MC, MN и AC и вычислим угол между векторами MN и AC, используя формулу для косинуса угла между векторами:

MA = (-0.75, 0, 0.25) MC = (0, 0.33, 0.67) MN = (0.25, 0.33, 0.42) AC = (1, 1, 0)

Теперь вычислим скалярные произведения векторов MN и AC, а также их длины:

MN*AC = 0.25 + 0.33 + 0 = 0.58 |MN| = √(0.25^2 + 0.33^2 + 0.42^2) = √(0.0625 + 0.1089 + 0.1764) = √0.3478 ≈ 0.59 |AC| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2 ≈ 1.41

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = MNAC / (|MN| |AC|) = 0.58 / (0.59 * 1.41) ≈ 0.68

Отсюда получаем, что угол между прямыми MN и AC примерно равен arccos(0.68) ≈ 46.6 градусов.