В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой DD1 и плоскостью АСB1

Для нахождения синуса угла между прямой ( DD_1 ) и плоскостью ( ACB_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), следует выполнить несколько шагов:

1. Координаты вершин куба: Пусть куб имеет ребро длиной ( a ). Тогда координаты его вершин будут:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(a, 0, 0) )
   • ( C(a, a, 0) )
   • ( D(0, a, 0) )
   • ( A_1(0, 0, a) )
   • ( B_1(a, 0, a) )
   • ( C_1(a, a, a) )
   • ( D_1(0, a, a) )

2. Направляющий вектор прямой ( DD_1 ): Прямая ( DD_1 ) вертикальна и параллельна оси ( z ). Вектор, направляющий эту прямую, можно записать как ( \vec{DD_1} = D_1 - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a) ).

3. Уравнение плоскости ( ACB_1 ): Для нахождения уравнения плоскости ( ACB_1 ), используем координаты точек ( A(0, 0, 0) ), ( C(a, a, 0) ), и ( B_1(a, 0, a) ).

   Найдём два вектора, лежащих в плоскости:

   • ( \vec{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) )
   • ( \vec{AB_1} = B_1 - A = (a, 0, a) - (0, 0, 0) = (a, 0, a) )

   Векторное произведение ( \vec{AC} \times \vec{AB_1} ) даст нормальный вектор плоскости: [ \vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & a & 0 \ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) ] [ \vec{n} = (a^2, -a^2, -a^2) ] Уравнение плоскости, проходящей через точку ( A(0, 0, 0) ) с нормальным вектором ( (a^2, -a^2, -a^2) ): [ a^2 x - a^2 y - a^2 z = 0 \quad \text{или} \quad x - y - z = 0 ]

4. Находим угол между прямой и плоскостью: Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти, используя скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:

   Направляющий вектор прямой ( \vec{DD_1} = (0, 0, a) ).

   Нормальный вектор плоскости ( \vec{n} = (1, -1, -1) ).

   Косинус угла между вектором и плоскостью: [ \cos \theta = \frac{|\vec{DD_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{DD_1}| |\vec{n}|} ] [ \vec{DD_1} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + a \cdot (-1) = -a ] [ |\vec{DD_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a ] [ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} ] [ \cos \theta = \frac{|-a|}{a \sqrt{3}} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

   Синус угла ( \phi ) между прямой и плоскостью: [ \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Таким образом, синус угла между прямой ( DD_1 ) и плоскостью ( ACB_1 ) равен ( \frac{\sqrt{6}}{3} ).

Для нахождения синуса угла между прямой DD1 и плоскостью ACB1 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем векторы, задающие прямую DD1 и плоскость ACB1. Вектор, задающий прямую DD1: d = D1 - D Векторы, задающие плоскость ACB1: ab = A - B1, ac = A - C

2. Найдем нормали к плоскости ACB1. Нормаль к плоскости ACB1: n = ab x ac

3. Найдем угол между вектором d и нормалью к плоскости ACB1. cos(угол) = (d n) / (|d| |n|) sin(угол) = sqrt(1 - cos^2(угол))

4. Рассчитаем значение синуса угла между прямой DD1 и плоскостью ACB1. Синус угла = sin(угол)