В окружность вписаны правильные треугольник и четырёхугольник. Периметр треугольника равен 6*корень...

Для начала найдем длину стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Поскольку треугольник равносторонний, каждая сторона равна радиусу окружности. Периметр треугольника равен 3 сторона треугольника, следовательно, сторона треугольника равна 2 корень из 6 см.

Далее найдем длину стороны правильного четырехугольника, вписанного в эту окружность. Для этого разобьем четырехугольник на два равносторонних треугольника и прямоугольник. По теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2 радиусу окружности, а катеты равны стороне треугольника. Таким образом, длина стороны четырехугольника равна 2 корень из 6 + 2 корень из 6 = 4 корень из 6 см.

Периметр четырехугольника равен 4 сторона четырехугольника, то есть 4 4 корень из 6 = 16 корень из 6 см.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства вписанных фигур и окружностей.

1. Вписанный правильный треугольник:

   • Если треугольник равносторонний и вписан в окружность, то его стороны равны. Пусть сторона треугольника равна ( a ).
   • Периметр треугольника равен ( 3a = 6\sqrt{6} ).
   • Отсюда ( a = 2\sqrt{6} ).

2. Радиус окружности:

   • Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус ( R ) выражается через сторону как ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ).
   • Подставим значение ( a = 2\sqrt{6} ) в формулу: [ R = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{3} = \frac{6}{3} = 2. ]
   • Таким образом, радиус окружности равен 2 см.

3. Вписанный правильный четырёхугольник:

   • Для правильного четырёхугольника, вписанного в окружность, речь идет о квадрате. Сторона квадрата ( b ) связана с радиусом окружности как ( b = R\sqrt{2} ).
   • Подставляя ( R = 2 ), получаем: [ b = 2\sqrt{2}. ]

4. Периметр четырёхугольника:

   • Периметр квадрата равен ( 4b ). Подставим значение ( b ): [ 4b = 4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}. ]

Таким образом, периметр правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в эту же окружность, равен ( 8\sqrt{2} ) см.