В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Боковые грани пирамиды наклонены к её...

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь каждой из боковых граней пирамиды.

Сначала найдем высоту боковой грани пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как боковые грани являются прямоугольными треугольниками с гипотенузой, равной высоте пирамиды (4√2), и катетами, равными радиусами вписанной в треугольник окружности. Таким образом, получаем, что высота боковой грани равна 3.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой грани пирамиды равна (периметр основания высота боковой грани) / 2. Для треугольника со сторонами 5, 12 и 13 периметр равен 30, следовательно, площадь одной боковой грани равна (30 3) / 2 = 45.

Так как у пирамиды 4 боковые грани, то общая площадь боковой поверхности пирамиды равна 4 * 45 = 180.

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 180.

Давайте начнем с анализа треугольника, лежащего в основании пирамиды. Треугольник со сторонами 5, 12 и 13 является прямоугольным, так как ( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 ). Площадь этого треугольника можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

[ \text{Площадь основания} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 ]

Теперь рассмотрим боковые грани пирамиды. Каждая из боковых граней является треугольником с одной стороной, равной одной из сторон основания, и вершиной пирамиды. Высота пирамиды составляет ( 4 \sqrt{2} ).

Так как боковые грани наклонены к основанию под равными углами, это означает, что вершина пирамиды расположена прямо над центром описанной окружности основания треугольника. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Длина гипотенузы равна 13, поэтому радиус описанной окружности равен ( \frac{13}{2} ).

Теперь найдем длины высот боковых треугольников. Высота от вершины пирамиды до любой из сторон основания является частью высоты пирамиды, проецируемой на плоскость основания. Из-за симметрии всех боковых граней, высота ( 4 \sqrt{2} ) будет одинаково проецироваться на каждую сторону треугольника.

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужно найти площади всех трех боковых граней. Рассмотрим один из этих треугольников, например, треугольник с основанием 5. Площадь этого треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника через основание и высоту:

[ \text{Площадь боковой грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ]

Высота треугольника, наклоненного к основанию, будет длиной от вершины пирамиды до основания (угловая высота). Для этого нужно использовать теорему Пифагора в треугольнике, где высота пирамиды является одной из сторон, а радиус описанной окружности — другой стороной.

Рассмотрим боковой треугольник, где одной из сторон основания является ( a = 5 ):

[ \text{Высота боковой грани} = \sqrt{(4 \sqrt{2})^2 + \left( \frac{13}{2} \right)^2} = \sqrt{32 + \left( \frac{169}{4} \right)} = \sqrt{32 + 42.25} = \sqrt{74.25} ]

Теперь посчитаем площади для всех трех боковых граней:

1. Для стороны 5: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{74.25} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{74.25} ]

2. Для стороны 12: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{74.25} = 6 \cdot \sqrt{74.25} ]

3. Для стороны 13: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \sqrt{74.25} = \frac{13}{2} \cdot \sqrt{74.25} ]

Сложим все площади боковых граней, чтобы получить общую площадь боковой поверхности пирамиды:

[ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{74.25} + 6 \cdot \sqrt{74.25} + \frac{13}{2} \cdot \sqrt{74.25} ]

[ \text{Площадь боковой поверхности} = \left( \frac{5}{2} + 6 + \frac{13}{2} \right) \cdot \sqrt{74.25} ]

[ \text{Площадь боковой поверхности} = \left( \frac{5 + 26 + 13}{2} \right) \cdot \sqrt{74.25} = 22 \cdot \sqrt{74.25} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна ( 22 \cdot \sqrt{74.25} ).