В параллелограмме ABCD AB=a, AD=b выразите векторы AC и BD через векторы a и b

Векторы в параллелограмме можно выразить через векторы двух его смежных сторон. Обозначим векторы сторон AB и AD соответственно как (\vec{a}) и (\vec{b}).

В параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. векторы сторон CD и AB равны, а также векторы сторон AD и BC равны. То есть (\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}) и (\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}).

Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Диагональ AC можно представить как сумму векторов (\vec{AB}) и (\vec{BC}), в то время как диагональ BD можно представить как сумму векторов (\vec{BC}) и (\vec{CD}). Подставляя соответствующие значения, мы получаем:

Вектор ( \vec{AC} ):

[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} ]

Вектор ( \vec{BD} ):

[ \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{b} + \vec{a} ]

Так как сложение векторов коммутативно, то (\vec{BD} = \vec{a} + \vec{b}) также, как и (\vec{AC}).

Итак, векторы диагоналей ( \vec{AC} ) и ( \vec{BD} ) в параллелограмме ABCD выражаются через векторы сторон (\vec{a}) (AB) и (\vec{b}) (AD) как сумма этих векторов: [ \vec{AC} = \vec{BD} = \vec{a} + \vec{b} ]

Для начала, вспомним свойства параллелограмма: AC = AB + BC и BD = AB + AD.

Исходя из этого, мы можем выразить вектор AC и BD через векторы a и b:

AC = AB + BC AC = AB + AD + DC AC = AB + AD + CB

Так как AB = a и AD = b, то получаем: AC = a + b + CB

BD = AB + AD BD = AB + DC BD = AB + CB

Так как AB = a, то получаем: BD = a + CB

Таким образом, вектор AC можно выразить как a + b + CB, а вектор BD как a + CB.