В параллелограмме abcd с острым углом А диагонали пересекаются в точке О, на отрезках АО и ОС взяты...

Для доказательства прямоугольности четырехугольника PBKD нужно показать, что его углы прямые. Рассмотрим треугольники OPD и OKB. Учитывая, что OP = OD и OK = OB (дано), а также то, что диагонали параллелограмма делятся пополам в точке их пересечения, получаем, что треугольники OPD и OKB равны по двум сторонам и общему углу. Следовательно, у них равны третьи стороны: PD = KB. Из этого следует, что углы PDB и KBD также равны, что и означает прямоугольность четырехугольника PBKD.

Для доказательства того, что четырехугольник PBKD является прямоугольником, рассмотрим треугольники PBD и KBD.

Из условия задачи известно, что OP = OD и OK = OB. Таким образом, треугольники PBD и KBD равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как угол A параллелограмма острый, то диагонали пересекаются внутри параллелограмма. Таким образом, угол PBD и угол KBD являются смежными и их сумма равна 180 градусов.

Так как треугольники PBD и KBD равны и смежные углы равны, то угол PBD и угол KBD равны между собой и каждый из них равен 90 градусам. Следовательно, четырехугольник PBKD является прямоугольником.

Докажем, что четырехугольник ( PBKD ) является прямоугольником, используя свойства параллелограмма и данное условие.

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме диагонали пересекаются в точке, деля друг друга пополам. Это значит, что ( OA = OC ) и ( OB = OD ).

2. Дано:

   • ( OP = OD )
   • ( OK = OB )

   Из свойств параллелограмма и данных условий следует:

   • ( OP = OB ) (поскольку ( OB = OD ))
   • ( OK = OD ) (поскольку ( OB = OD ))

3. Рассмотрим точки ( P ) и ( K ):

   • Так как ( OP = OB ) и ( OK = OD ), то точки ( P ) и ( K ) симметричны относительно точки ( O ) по отношению к отрезкам ( OB ) и ( OD ) соответственно.

4. Докажем, что ( PBKD ) — прямоугольник:

   • В параллелограмме ( ABCD ), диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ), и ( O ) является серединой обеих диагоналей, то есть точкой симметрии для отрезков.
   • Поскольку точки ( P ) и ( K ) симметричны относительно ( O ), отрезки ( PB ) и ( KD ) равны и параллельны.
   • Аналогично, отрезки ( PK ) и ( BD ) равны и параллельны, потому что ( P ) и ( K ) симметричны относительно ( O ).

5. Угол между сторонами:

   • В параллелограмме противоположные углы равны. Так как при симметрии точки ( P ) и ( K ) относительно ( O ), угол ( \angle PBK ) будет равен углу ( \angle BOD ), который является прямым.

Таким образом, все углы в четырехугольнике ( PBKD ) равны 90 градусам. Следовательно, ( PBKD ) является прямоугольником.