В параллелограмме ABCD вектор BA= вектору a, вектор BC = вектору b. Выразите векторы AC и BD через векторы...

Для решения задачи определим, как выразить векторы диагоналей параллелограмма ( AC ) и ( BD ) через заданные векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Дано:

1. В параллелограмме ( ABCD ):

   • Вектор ( \mathbf{BA} = \mathbf{a} ),
   • Вектор ( \mathbf{BC} = \mathbf{b} ).

2. С учетом свойств параллелограмма:

   • Противоположные стороны равны и параллельны,
   • Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам.

Теперь разберем, как выразить векторы диагоналей.

Вектор ( \mathbf{AC} ):

Вектор ( \mathbf{AC} ) соединяет вершины ( A ) и ( C ). Чтобы выразить его через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), найдем координаты точки ( C ) относительно точки ( A ):

• Из точки ( A ) в точку ( C ) можно прийти, двигаясь по сторонам параллелограмма: [ \mathbf{AC} = \mathbf{AB} + \mathbf{BC}. ]

Но известно, что:

• ( \mathbf{AB} = -\mathbf{BA} = -\mathbf{a} ),
• ( \mathbf{BC} = \mathbf{b} ).

Подставим в выражение: [ \mathbf{AC} = -\mathbf{a} + \mathbf{b}. ]

Итак, вектор диагонали ( \mathbf{AC} ) выражается как: [ \mathbf{AC} = \mathbf{b} - \mathbf{a}. ]

Вектор ( \mathbf{BD} ):

Вектор ( \mathbf{BD} ) соединяет вершины ( B ) и ( D ). Аналогично, найдем координаты точки ( D ) относительно точки ( B ):

• Из точки ( B ) в точку ( D ) можно прийти так: [ \mathbf{BD} = \mathbf{BA} + \mathbf{AD}. ]

Но известно, что:

• ( \mathbf{BA} = \mathbf{a} ),
• ( \mathbf{AD} = \mathbf{BC} = \mathbf{b} ) (поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны).

Подставим в выражение: [ \mathbf{BD} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. ]

Итак, вектор диагонали ( \mathbf{BD} ) выражается как: [ \mathbf{BD} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. ]

Ответ:

1. Вектор ( \mathbf{AC} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ),
2. Вектор ( \mathbf{BD} = \mathbf{a} + \mathbf{b} ).

Таким образом, диагонали параллелограмма ( AC ) и ( BD ) выражены через заданные векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

В параллелограмме ABCD мы можем использовать векторы для выражения отношений между сторонами и диагоналями.

1. Определим векторы:

   • Пусть вектор ( \vec{BA} = \vec{a} ).
   • Пусть вектор ( \vec{BC} = \vec{b} ).

2. Найдем вектор AC:

   • Вектор ( \vec{AC} ) можно найти, используя векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ). Мы знаем, что ( \vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a} ).
   • Теперь мы можем выразить ( \vec{AC} ) как сумму векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ): [ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}. ]

3. Найдем вектор BD:

   • Вектор ( \vec{BD} ) также можно выразить через векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ). Мы знаем, что ( \vec{CD} = \vec{BA} = \vec{a} ) (так как противоположные стороны параллелограмма равны).
   • Поскольку ( D ) - это точка, которая противолежит ( B ), мы можем записать: [ \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{b} + \vec{a}. ]

Таким образом, мы выразили векторы диагоналей через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ):

• Вектор ( \vec{AC} = \vec{b} - \vec{a} ),
• Вектор ( \vec{BD} = \vec{a} + \vec{b} ).

Эти уравнения показывают, как диагонали параллелограмма связаны с его сторонами.