В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует с диагональю BD...

Для начала обозначим точку пересечения высоты с диагональю как точку E. Так как высота делит сторону CD пополам, то DE = EC. Также из условия задачи известно, что угол BDE равен 30 градусов.

Так как AB = 10 см, то BC = AD = 10 см (так как AD || BC и AB = CD).

Поскольку DE = EC, то треугольник DEC равнобедренный, следовательно угол DCE равен углу DEC. Так как угол DCE равен 30 градусов, то угол DEC также равен 30 градусов. Теперь мы знаем, что угол BDE равен 30 градусов, а угол DEC равен 30 градусов, значит треугольники BDE и DEC равны по двум углам и стороне между ними. Следовательно, BD = DE.

Теперь мы знаем, что BD = DE = EC = DC = 10 см. Периметр параллелограмма ABCD равен сумме всех его сторон, то есть 4 * 10 = 40 см.

Итак, периметр параллелограмма ABCD равен 40 см.

Пусть CD = x, тогда BD = 2x (так как высота делит сторону CD пополам). По теореме косинусов в треугольнике BCD: x^2 + (2x)^2 - 2x2xcos30° = BD^2 x^2 + 4x^2 - 4x^20.866 = 4x^2 5x^2 - 3.464x^2 = 4x^2 1.536x^2 = 4x^2 x = 4.62 см

Тогда CD = 2x = 9.24 см Периметр параллелограмма ABCD = 2(AB + BC) = 2(10 + 9.24) = 2*19.24 = 38.48 см.

Для решения этой задачи давайте разберёмся с условиями и найдём необходимые элементы параллелограмма.

1. Условия задачи:

   • Высота, опущенная из вершины A на сторону CD, делит её пополам. Это означает, что точка пересечения высоты с CD является её серединой.
   • Высота образует угол 30 градусов с диагональю BD.
   • Длина стороны AB равна 10 см.

2. Анализ параллелограмма:

   • Пусть ( H ) — точка пересечения высоты из вершины A с CD. Так как ( H ) — середина CD, то ( CH = HD = \frac{CD}{2} ).
   • Рассмотрим треугольник ( AHB ), где ( \angle AHB = 30^\circ ).

3. Использование тригонометрии:

   • В треугольнике ( AHB ), ( \angle AHB = 30^\circ ), и мы знаем, что ( AB = 10 ) см.
   • Поскольку ( AH ) — высота, то она является перпендикуляром к CD, следовательно, ( \angle AHC = 90^\circ ).

4. Вычисление высоты AH:

   • Используем синус в треугольнике ( AHB ): [ \sin(30^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2} ]
   • Следовательно, ( AH = \frac{1}{2} \times 10 = 5 ) см.

5. Вычисление длины стороны CD:

   • Поскольку ( AH ) делит ( CD ) пополам, то ( CH = HD ).
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ( AHC ) с гипотенузой AC: [ \cos(30^\circ) = \frac{CH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ CH = AH \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} ]
   • Таким образом, ( CD = 2 \times CH = 2 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ).

6. Вычисление периметра параллелограмма:

   • Периметр (P) параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2 \times (AB + CD) = 2 \times (10 + 5\sqrt{3}) ]
   • Периметр ( P = 20 + 10\sqrt{3} ).

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен ( 20 + 10\sqrt{3} ) см.