В параллелограмме АВСД точка М-середина стороны СД,N-точка на стороне АД,также,AN:ND=1:2.Выразить векторы CN и MN через векторы вектор b=векторуВС и вектор a=векотруВА
В параллелограмме АВСД точка М-середина стороны СД,N-точка на стороне АД,также,AN:ND=1:2.Выразить векторы CN и MN через векторы вектор b=векторуВС и вектор a=векотруВА
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма. Так как точка М является серединой стороны CD, то вектор CM равен вектору MD, то есть CM = MD. Также, учитывая, что AN:ND=1:2, можем записать вектор AN = 1/3 AD и вектор ND = 2/3 AD.
Теперь выразим векторы CN и MN через векторы b и a. Вектор CN = CM + MN = (CD - ND) + MN = (CD - 2/3 AD) + MN = b - 2/3 a. Вектор MN = AN - AM = 1/3 AD - 1/2 AC = 1/3 a - 1/2 (a + b) = 1/3 a - 1/2 a - 1/2 b = -1/6 a - 1/2 * b.
Таким образом, вектор CN = b - 2/3 a и вектор MN = -1/6 a - 1/2 * b.
Вектор CN = 1/3 (2a + b) Вектор MN = 1/2 (a + b)
Давайте рассмотрим параллелограмм (ABCD) и обозначим известные векторы: ( \mathbf{a} = \overrightarrow{BA} ) и ( \mathbf{b} = \overrightarrow{BC} ).
Так как ( \mathbf{b} = \overrightarrow{BC} ), то мы также можем выразить вектор ( \overrightarrow{CD} ) через ( \mathbf{b} ) как ( \overrightarrow{CD} = \mathbf{b} ).
Теперь рассмотрим точку ( N ) на стороне ( AD ) с условием, что ( AN:ND = 1:2 ). Это означает, что точка ( N ) делит отрезок ( AD ) в отношении 1:2. Таким образом, вектор ( \overrightarrow{AN} ) равен одной трети от вектора ( \overrightarrow{AD} ).
Вектор ( \overrightarrow{AD} ) можно выразить через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) как: [ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{a} ] (учитывая, что вектор ( \overrightarrow{CD} = \mathbf{b} )).
Таким образом, вектор ( \overrightarrow{AN} ) будет равен: [ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \mathbf{a} ]
Теперь выразим вектор ( \overrightarrow{CN} ): [ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AN} = -\mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a} ]
Следующий шаг — выразить вектор ( \overrightarrow{MN} ). Точка ( M ) — середина стороны ( CD ), следовательно, ( \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} \mathbf{b} ).
Теперь ( \overrightarrow{MN} ) выражается как: [ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{CM} = \left(-\mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a}\right) - \frac{1}{2} \mathbf{b} ]
Приведем к общему виду: [ \overrightarrow{MN} = -\mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a} = -\frac{3}{2} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a} ]
Таким образом, векторы ( \overrightarrow{CN} ) и ( \overrightarrow{MN} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) будут выражаться как: [ \overrightarrow{CN} = -\mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a} ] [ \overrightarrow{MN} = -\frac{3}{2} \mathbf{b} + \frac{1}{3} \mathbf{a} ]
