В прямоугольнике АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е, так что...

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами биссектрисы треугольника. Поскольку биссектриса угла А делит угол на два равных угла, то треугольник ABE является равнобедренным, а значит, AE=AB. Также, по теореме Пифагора, мы можем найти длину стороны AB: AB^2 = AE^2 + BE^2 = 7^2 + 3^2 = 58, следовательно, AB = √58 см.

Так как прямоугольник ABCD - это прямоугольный треугольник, то сторона DC равна AB, то есть DC = √58 см.

Теперь, чтобы найти периметр прямоугольника, нужно просуммировать длины всех его сторон: P = AB + BC + DC + AD = √58 + 7 + √58 + 3 = 2√58 + 10 + 7 = 2√58 + 17 см.

Итак, периметр прямоугольника ABCD равен 2√58 + 17 см.

Для решения задачи нам нужно использовать свойства биссектрисы и прямоугольника.

1. Свойство биссектрисы: Внутренняя биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам. В нашем случае, биссектриса угла (A) делит сторону (BC) на отрезки (BE) и (EC), такие что: [ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD}. ]

2. Заданное отношение: (BE = 7) см и (EC = 3) см, значит: [ \frac{BE}{EC} = \frac{7}{3}. ]

3. Прямоугольник: В прямоугольнике (ABCD) все углы прямые, и противоположные стороны равны. Обозначим (AB = a) и (AD = b).

4. Использование свойства биссектрисы: [ \frac{AB}{AD} = \frac{7}{3} \implies \frac{a}{b} = \frac{7}{3}. ] Это отношение можно записать как (a = \frac{7}{3}b).

5. Определение периметра: Периметр прямоугольника (P) равен: [ P = 2(a + b). ]

6. Выражение (a) через (b): [ a = \frac{7}{3}b. ]

7. Вставка выражения в формулу периметра: [ P = 2\left(\frac{7}{3}b + b\right). ]

8. Объединение членов в скобках: [ P = 2\left(\frac{7}{3}b + \frac{3}{3}b\right) = 2\left(\frac{10}{3}b\right). ]

9. Упрощение выражения: [ P = 2 \cdot \frac{10}{3}b = \frac{20}{3}b. ]

10. Нахождение значения (b): Мы знаем, что (b + b = BC), а (BC = BE + EC = 7 + 3 = 10) см. Следовательно: [ 2b = 10 \implies b = 5 \text{ см}. ]

11. Определение периметра: [ P = \frac{20}{3} \cdot 5 = \frac{100}{3} = 33.\overline{3} \text{ см}. ]

Итак, периметр прямоугольника (ABCD) равен (33.\overline{3}) см.

Периметр прямоугольника равен 40 см.