В прямоугольнике диагональ равна 96, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны...

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно определить его стороны. Давайте поэтапно разберем задачу.

Дано:

1. Диагональ прямоугольника ( d = 96 ).
2. Угол между диагональю и одной из сторон прямоугольника ( \alpha = 30^\circ ).
3. Длина одной из сторон ( a = 48\sqrt{3} ).

Найдем длину второй стороны ( b ) и затем вычислим площадь прямоугольника ( S = a \cdot b ).

Шаг 1: Связь между сторонами и диагональю через тригонометрию

В прямоугольнике диагональ делит его на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников, в котором:

• гипотенуза ( d = 96 ) (это диагональ),
• угол при основании ( \alpha = 30^\circ ),
• прилежащая сторона ( a = 48\sqrt{3} ).

Из тригонометрии:
[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] Подставим значения: [ \cos 30^\circ = \frac{a}{d}. ] Значение ( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Подставим: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{48\sqrt{3}}{96}. ] Уравнение выполняется, что подтверждает корректность данных.

Шаг 2: Найдем вторую сторону

Для нахождения второй стороны ( b ) используем тригонометрическую функцию ( \sin \alpha ): [ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] Здесь: [ \sin 30^\circ = \frac{b}{d}. ] Подставим значения: [ \frac{1}{2} = \frac{b}{96}. ] Решим уравнение для ( b ): [ b = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48. ]

Шаг 3: Найдем площадь

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: [ S = a \cdot b. ] Подставим значения ( a = 48\sqrt{3} ) и ( b = 48 ): [ S = (48\sqrt{3}) \cdot 48 = 48^2 \cdot \sqrt{3}. ] Вычислим: [ 48^2 = 2304, ] поэтому: [ S = 2304\sqrt{3}. ]

Ответ:

Площадь прямоугольника равна ( \mathbf{2304\sqrt{3}} ).

Чтобы найти площадь прямоугольника, начнем с анализа предоставленной информации. У нас есть прямоугольник, в котором диагональ равна 96, угол между диагональю и одной из сторон равен 30°, а длина этой стороны равна (48\sqrt{3}).

Обозначим:

• (ABCD) — прямоугольник, где стороны (AB) и (CD) — это стороны, между которыми находится угол 30° (например, (AB)).
• (AC) — диагональ.

Из условия задачи известно:

• (AC = 96)
• Угол (\angle CAB = 30°)
• (AB = 48\sqrt{3})

Для нахождения стороны (BC) воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Согласно определению косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике (ABC):

[ \cos(30°) = \frac{AB}{AC} ] [ \sin(30°) = \frac{BC}{AC} ]

Подставим известные значения в эти формулы.

1. Находим (BC) с помощью синуса: [ \sin(30°) = \frac{1}{2} \implies \frac{BC}{96} = \frac{1}{2} \implies BC = 48 ]

2. Теперь проверим (AB) с помощью косинуса: [ \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \frac{48\sqrt{3}}{96} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Обе стороны равны, значит, вычисления верны.

Теперь мы имеем длины двух сторон прямоугольника:

• (AB = 48\sqrt{3})
• (BC = 48)

Чтобы найти площадь (S) прямоугольника, используем формулу: [ S = AB \cdot BC ] Подставим известные значения: [ S = (48\sqrt{3}) \cdot 48 = 2304\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь прямоугольника равна (2304\sqrt{3}) квадратных единиц.