В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна 8 см, а большее основание равно 21 см. Вычисли длину меньшего основания.
В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна 8 см, а большее основание равно 21 см. Вычисли длину меньшего основания.
В прямоугольной трапеции один из углов, прилежащих к большему основанию, равен 90°, а другой острый угол — 45°. Это означает, что трапеция имеет прямой угол и один из углов равен 45°, что делает её частным случаем прямоугольного треугольника, встроенного в трапецию.
В данной задаче:
Пусть ( ABCD ) — трапеция, где ( AB ) и ( CD ) — основания, ( AD ) — высота, и ( BC ) — боковая сторона. ( \angle DAB = 90^\circ ), и ( \angle ABC = 45^\circ ).
Из условия задачи известно:
Поскольку ( \angle ABC = 45^\circ ), треугольник ( ABC ) является равнобедренным прямоугольным треугольником, следовательно, ( AC ) (катет, противоположный углу 45°) равен ( BC ).
Это значит, что ( AC = 8 ) см (поскольку в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны).
Теперь осталось найти длину меньшего основания ( CD ). Поскольку ( AB = 21 ) см и ( AC = 8 ) см, мы можем использовать тот факт, что ( CD = AB - AC ).
Подставим значения:
[
CD = 21 - 8 = 13 \text{ см}
]
Итак, длина меньшего основания ( CD ) равна 13 см.
Для вычисления длины меньшего основания воспользуемся теоремой косинусов: (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)),
где (a) - искомая сторона (меньшее основание), (b) - меньшая боковая сторона (8 см), (c) - большее основание (21 см), (\alpha) - угол между сторонами b и c (45°).
Подставим известные значения и решим уравнение: (a^2 = 8^2 + 21^2 - 2 \cdot 8 \cdot 21 \cdot \cos(45°)), (a^2 = 64 + 441 - 336 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}), (a^2 = 505 - 168 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}), (a^2 = 505 - 84\sqrt{2}), (a = \sqrt{505 - 84\sqrt{2}} \approx 13.15) см.
Ответ: длина меньшего основания прямоугольной трапеции равна примерно 13,15 см.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство трапеции, что сумма углов, лежащих на одной стороне от основания, равна 180°. Так как острый угол равен 45°, то противолежащий ему тупой угол также равен 45°.
Обозначим длину меньшего основания трапеции как х. Тогда мы можем составить уравнение: 45° + 90° + угол между меньшим основанием и меньшей боковой стороной = 180° 45° + 90° + угол между меньшим основанием и меньшей боковой стороной = 180° 135° + угол между меньшим основанием и меньшей боковой стороной = 180° угол между меньшим основанием и меньшей боковой стороной = 45°
Так как треугольник с углом 45° является прямоугольным, мы можем применить теорему косинусов: cos(45°) = (8^2 + x^2 - 21^2) / (2 8 x) √2/2 = (64 + x^2 - 441) / 16x 16x√2 = 64 + x^2 - 441 16√2x = x^2 - 377 x^2 - 16√2x - 377 = 0
Решив квадратное уравнение, мы получаем два возможных значения для x: x = 25 или x = -15. Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем, что длина меньшего основания трапеции равна 25 см.
