В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2 AD=AA1=1 Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью...

Давайте рассмотрим задачу. У нас есть прямоугольный параллелепипед ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с заданными размерами: ( AB = 2 ), ( AD = 1 ), и ( AA_1 = 1 ).

Шаг 1: Определение векторов

1. Координаты точек:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(2, 0, 0) )
   • ( A_1(0, 0, 1) )
   • ( B_1(2, 0, 1) )
   • ( C(2, 1, 0) )
   • ( C_1(2, 1, 1) )

2. Вектор ( \overrightarrow{AB_1} ): [ \overrightarrow{AB_1} = (2 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1) ]

3. Векторное уравнение плоскости ( ABC_1 ):

   Для этого найдем нормальный вектор к плоскости. Известно, что векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC_1} ) лежат в плоскости ( ABC_1 ).

   • ( \overrightarrow{AB} = (2, 0, 0) )
   • ( \overrightarrow{AC_1} = (2, 1, 1) )

4. Нормальный вектор к плоскости ( ABC_1 ):

   Найдем векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} ):

   [ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 1 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) ]

   [ \overrightarrow{n} = (0, -2, 2) ]

Шаг 2: Вычисление угла между прямой и плоскостью

Угол ( \theta ) между прямой и плоскостью определяется как угол между вектором прямой и нормальным вектором к плоскости. Косинус этого угла может быть найден через скалярное произведение:

[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{n}|} ]

1. Скалярное произведение ( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{n} ):

   [ \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{n} = (2, 0, 1) \cdot (0, -2, 2) = 2 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 2 ]

2. Длины векторов:

   [ |\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ]

   [ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

3. Косинус угла:

   [ \cos \theta = \frac{|2|}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} ]

4. Угол ( \theta ):

   [ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) ]

Таким образом, угол между прямой ( AB_1 ) и плоскостью ( ABC_1 ) равен ( \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) ).

Для нахождения угла между прямой AB1 и плоскостью ABC1 необходимо использовать формулу косинуса угла между прямой и плоскостью.

Сначала найдем векторное произведение векторов AB и AC1, чтобы найти нормальный вектор к плоскости ABC1. Затем найдем векторное произведение векторов AB и AB1, чтобы найти вектор, параллельный прямой AB1.

Далее найдем косинус угла между векторами, используя формулу: cos(угол) = (AB AB1) / (|AB| |AB1|), где AB и AB1 - найденные ранее векторы, * - операция векторного произведения, | | - модуль вектора.

После нахождения косинуса угла, можно найти сам угол, используя обратную функцию косинуса.

Угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1 равен 90 градусов.