В прямоугольном треугольнике ABC медиана CM=12см, расстояние от середины катета AC до гипотенузы AB...

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и медианы.

1. Обозначения и свойства:

   • Пусть ( AC ) и ( BC ) — катеты треугольника.
   • ( AB ) — гипотенуза.
   • ( CM ) — медиана, проведенная к гипотенузе ( AB ).
   • Из условия ( CM = 12 ) см. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, ( AB = 24 ) см.

2. Точка ( N ) — середина катета ( AC ):

   • По условию расстояние от точки ( N ) до гипотенузы ( AB ) равно 3 см. Это расстояние является высотой треугольника с основанием на гипотенузе.

3. Площадь треугольника:

   • Площадь треугольника можно найти, используя формулу: [ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ] В данном случае основание — гипотенуза ( AB = 24 ) см, а высота из точки ( N ) равна 3 см. Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 3 = 36 \text{ см}^2 ]

Следовательно, площадь треугольника ( ABC ) равна 36 см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами медианы прямоугольного треугольника.

Известно, что медиана треугольника делит его на два равных по площади треугольника. Таким образом, площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника AMC.

Так как CM=12 см, то AM=MC=6 см. Также известно, что расстояние от середины катета AC до гипотенузы AB равно 3 см, следовательно, это расстояние равно половине гипотенузы AB.

Пусть AB=c, то 2*3=c, отсюда получаем c=6 см.

Теперь можем найти площадь треугольника AMC: S_AMC = 0.5 AM CM = 0.5 6 12 = 36 см^2.

Следовательно, площадь треугольника ABC равна S_ABC = 2 S_AMC = 2 36 = 72 см^2.

Ответ: площадь треугольника ABC равна 72 квадратным см.