В прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 15 градусов Из вершины прямого угла C проведены высота...

Отношение CH : AB = 1 : 2, отношение MH : BC = 1 : 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B = 15 градусов, угол C = 90 градусов, и из вершины C проведены высота CH и медиана CM.

1. Отношение CH : AB

Высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу AB, разделяет треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ACH и BCH. Эти треугольники подобны треугольнику ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку угол B = 15 градусов, угол A = 90 - 15 = 75 градусов.

Высота CH в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, может быть найдена через стороны треугольника ABC. Воспользуемся формулой высоты для прямоугольного треугольника: [ CH = \frac{a \cdot b}{c} ] где (a) и (b) - катеты, а (c) - гипотенуза.

Пусть (AC = a), (BC = b), (AB = c).

Известно, что в прямоугольном треугольнике: [ \sin(15^\circ) = \frac{BC}{AB} ]

Обозначим: [ BC = b ] [ AB = c ] Тогда: [ \sin(15^\circ) = \frac{b}{c} ]

Отсюда: [ b = c \cdot \sin(15^\circ) ]

Теперь используем формулу для высоты: [ CH = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{a \cdot (c \cdot \sin(15^\circ))}{c} = a \cdot \sin(15^\circ) ]

В прямоугольном треугольнике, коэффициент для соотношения можно найти через соотношение сторон и углы: [ a = c \cdot \cos(15^\circ) ]

Тогда: [ CH = (c \cdot \cos(15^\circ)) \cdot \sin(15^\circ) = c \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) ]

Используем тождество: [ \cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ] [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Тогда: [ CH = c \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = c \cdot \frac{6 - 2}{16} = c \cdot \frac{4}{16} = c \cdot \frac{1}{4} ]

Итак, отношение CH : AB: [ \frac{CH}{AB} = \frac{c \cdot \frac{1}{4}}{c} = \frac{1}{4} ]

1. Отношение MH : BC

Медиана CM, проведенная к гипотенузе AB, делит её пополам. Точка M является серединой гипотенузы AB, следовательно, AM = MB = (\frac{AB}{2}).

Рассмотрим отрезок MH. Треугольник CHM является прямоугольным, где CH - высота, а HM - половина гипотенузы.

В треугольнике CHM: [ CH = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{4} ] [ HM = \frac{AB}{2} ]

Отношение MH : BC: [ MH = \frac{AB}{2} ] [ BC = AB \cdot \sin(15^\circ) ]

Тогда: [ \frac{MH}{BC} = \frac{\frac{AB}{2}}{AB \cdot \sin(15^\circ)} = \frac{1}{2 \cdot \sin(15^\circ)} ]

Подставляем значение (\sin(15^\circ)): [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Итак: [ \frac{MH}{BC} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} ]

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение ((\sqrt{6} + \sqrt{2})): [ \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, отношение MH : BC равно: [ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} ]

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и основными формулами геометрии.

1. Найдем длину гипотенузы треугольника ABC: Угол B равен 15 градусам, следовательно, угол A равен 90 - 15 = 75 градусам. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол C = 180 - 90 - 15 = 75 градусов. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, и гипотенуза AB = AC.

2. Найдем отношение CH : AB: Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота CH будет являться медианой и биссектрисой, а также перпендикулярна гипотенузе AB. Отношение CH : AB = 1 : 2.

3. Найдем отношение MH : BC: Медиана треугольника дробит сторону на две равные части, поэтому MH = BC / 2. Отношение MH : BC = 1 : 2.

Итак, отношения CH : AB и MH : BC равны 1 : 2.