В прямоугольном треугольнике ABC угол C =90°, AC=4см, CB=4корня из 3 см, CM-медиана. Найдите угол BCM.

Угол BCM в прямоугольном треугольнике равен 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть ( AB ) - гипотенуза, ( AC ) и ( BC ) - катеты, где ( AC = 4 ) см, ( BC = 4\sqrt{3} ) см.

Первым шагом найдем длину гипотенузы ( AB ) с помощью теоремы Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 ] [ AB^2 = 16 + 48 ] [ AB^2 = 64 ] [ AB = \sqrt{64} = 8 \text{ см} ]

Теперь перейдем к медиане ( CM ). Медиана, проведенная из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы: [ CM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} ]

Следует найти угол ( BCM ). Заметим, что треугольник ( ACM ) равнобедренный, так как ( AC = CM = 4 ) см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. То есть, углы ( \angle CAM ) и ( \angle ACM ) равны.

Обозначим эти углы через ( \alpha ). Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°: [ \angle ACB = 90° ] [ \angle CAM + \angle ACM + \angle MCA = 180° ] [ \alpha + \alpha + 90° = 180° ] [ 2\alpha = 90° ] [ \alpha = 45° ]

Теперь рассмотрим треугольник ( BCM ). Угол ( \angle BCM ) является внешним углом для треугольника ( ACM ) и равен сумме углов ( \angle CAM ) и ( \angle ACM ): [ \angle BCM = \angle CAM + \angle ACM ] [ \angle BCM = 45° + 45° = 90° ]

Таким образом, угол ( \angle BCM ) равен 90°.

Для нахождения угла BCM воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол BCM как x.

По теореме косинусов в треугольнике BCM: BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2BMCM*cos(x)

Подставляем известные значения: (4√3)^2 = (2√3)^2 + (2)^2 - 2(2√3)(2)*cos(x) 12 = 12 - 8cos(x) 8cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = 90°

Таким образом, угол BCM равен 90°.