В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90 (градусов), M -середина AC , N - середина BC, MN = 6 см,...

Чтобы решить данную задачу, начнём с анализа информации о треугольнике и использовании известных теорем.

Дано:

• Треугольник ( \triangle ABC ) прямоугольный с ( \angle C = 90^\circ ).
• ( M ) — середина ( AC ).
• ( N ) — середина ( BC ).
• ( MN = 6 ) см.
• ( \angle MNC = 30^\circ ).

Требуется найти:

a) Стороны треугольника ( \triangle ABC ) и длину отрезка ( AN ).

b) Площадь треугольника ( \triangle CMN ).

Решение:

Шаг 1: Найдите стороны треугольника ( \triangle ABC ).

Поскольку ( M ) и ( N ) являются серединами соответствующих сторон, можно выразить ( AM = \frac{AC}{2} ) и ( BN = \frac{BC}{2} ).

Угол ( \angle MNC = 30^\circ ) и ( MN = 6 ) см позволяют использовать тригонометрические свойства.

В треугольнике ( \triangle MNC ):

• ( \angle MNC = 30^\circ )
• ( MN = 6 ) см

Поскольку ( \angle MNC = 30^\circ ), ( MC ) можно рассматривать как противолежащий катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза ( MN = 6 ).

Используя тригонометрическую функцию синуса: [ \sin(\angle MNC) = \frac{MC}{MN} = \frac{MC}{6} ] [ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ] [ \frac{1}{2} = \frac{MC}{6} \implies MC = 3 \text{ см} ]

Поскольку ( M ) — середина ( AC ), то ( AC = 2 \times MC = 6 ) см.

Теперь найдём ( NC ) через косинус: [ \cos(30^\circ) = \frac{NC}{MN} = \frac{NC}{6} ] [ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{NC}{6} \implies NC = 3\sqrt{3} \text{ см} ]

Поскольку ( N ) — середина ( BC ), то ( BC = 2 \times NC = 6\sqrt{3} ) см.

Теперь, используя теорему Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 ] [ AB^2 = 36 + 108 = 144 \implies AB = 12 \text{ см} ]

Шаг 2: Найдите длину отрезка ( AN ).

Используя свойство медианы в прямоугольном треугольнике: ( AN ) — медиана прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы: [ AN = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} ]

Шаг 3: Найдите площадь треугольника ( \triangle CMN ).

Площадь треугольника ( \triangle CMN ) можно найти через формулу для площади треугольника: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times MN \times MC \times \sin(\angle MNC) ] [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times 0.5 = 4.5 \text{ см}^2 ]

Ответ:

a) Стороны треугольника ( \triangle ABC ): ( AC = 6 ) см, ( BC = 6\sqrt{3} ) см, ( AB = 12 ) см; длина отрезка ( AN = 6 ) см.

b) Площадь треугольника ( \triangle CMN = 4.5 ) см².

a) Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то можно воспользоваться теоремой Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = (2MN)^2 + (2MN)^2 AB^2 = 4MN^2 + 4MN^2 AB^2 = 8MN^2 AB = √8*6 = √48 = 4√3

Также, учитывая, что MN = 6, то длины сторон AC и BC равны: AC = 2MN = 12 см BC = 2MN = 12 см

Для нахождения длины отрезка AN воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AMN: AN^2 = AM^2 + MN^2 AN^2 = (1/2*AC)^2 + MN^2 AN^2 = (6)^2 + (6)^2 AN^2 = 36 + 36 AN = √72 = 6√2 см

b) Площадь треугольника CMN можно найти с помощью формулы для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = 1/2 CM CN sin(MNC) S = 1/2 6 6 sin(30) S = 1/2 36 0.5 S = 9 кв. см

Ответ: a) Стороны треугольника ABC: AB = 4√3 см, AC = BC = 12 см, длина отрезка AN = 6√2 см b) Площадь треугольника CMN: 9 кв. см