В прямоугольном треугольнике ACB(угол C=90°)угол BAC=45°,AB=10,D∈BC (B-D-C),угол DAC=30°.Найдите DC.

В прямоугольном треугольнике ACB угол BAC равен 45°, значит, угол ABC также равен 45° (в сумме с углом ACB, равным 90°, они дают 180°). Таким образом, треугольник ACB является равнобедренным и AC = BC.

Сначала найдем сторону AC. В треугольнике ACB по теореме Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Так как AC = BC, можно записать:

[ AB^2 = 2AC^2 ]

Подставим AB = 10:

[ 10^2 = 2AC^2 ] [ 100 = 2AC^2 ] [ AC^2 = 50 ] [ AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

Теперь мы знаем, что AC = 5√2 и BC = 5√2.

В треугольнике DAC угол DAC равен 30°. Так как AC = 5√2, то по свойству треугольника с углом 30°:

[ DC = AC \cdot \cos(30°) ]

[ DC = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{6}}{2} ]

Итак, длина отрезка DC равна (\frac{5\sqrt{6}}{2}).

Давайте подробно разберём задачу.

Условие:

1. Дано прямоугольный треугольник ( \triangle ACB ), где угол ( \angle C = 90^\circ ), ( \angle BAC = 45^\circ ), гипотенуза ( AB = 10 ).
2. Точка ( D ) лежит на стороне ( BC ), причём ( B - D - C ) (то есть ( D ) расположена между ( B ) и ( C )).
3. Угол ( \angle DAC = 30^\circ ).
4. Нужно найти длину отрезка ( DC ).

Решение:

Шаг 1: Определим стороны треугольника ( \triangle ACB )

Поскольку ( \triangle ACB ) — прямоугольный треугольник с углом ( \angle BAC = 45^\circ ), он также является равнобедренным (углы ( \angle BAC = \angle ACB = 45^\circ )). Следовательно, катеты равны.

Обозначим:

• ( AC = BC = x ), где ( x ) — длина катета.

По теореме Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ]

Подставим значения: [ 10^2 = x^2 + x^2 \implies 100 = 2x^2 \implies x^2 = 50 \implies x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. ]

Итак, длины сторон треугольника:

• ( AC = BC = 5\sqrt{2} ),
• ( AB = 10 ) (по условию).

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ( \triangle DAC )

Точка ( D ) лежит на стороне ( BC ), и угол ( \angle DAC = 30^\circ ). Нам нужно найти длину ( DC ). Заметим, что треугольник ( \triangle DAC ) не прямоугольный, но мы можем применить тригонометрические свойства и соотношения.

Шаг 3: Введите обозначения

Обозначим:

• ( BD = z ),
• ( DC = y ).

Так как ( B - D - C ), то: [ BC = BD + DC \implies 5\sqrt{2} = z + y. ]

Теперь наша задача — выразить ( DC = y ).

Шаг 4: Используем тригонометрию в ( \triangle DAC )

В треугольнике ( \triangle DAC ), по определению, угол ( \angle DAC = 30^\circ ). Применим тригонометрическое соотношение для угла ( \angle DAC ), используя, что: [ \sin \angle DAC = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ]

Противолежащий катет для угла ( \angle DAC = 30^\circ ) — это ( DC = y ), гипотенуза — это ( AC = 5\sqrt{2} ). Следовательно: [ \sin 30^\circ = \frac{y}{5\sqrt{2}}. ]

Известно, что ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ), подставим это: [ \frac{1}{2} = \frac{y}{5\sqrt{2}}. ]

Решим относительно ( y ): [ y = \frac{5\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 5: Проверка

Мы нашли длину ( DC ): [ DC = \frac{5\sqrt{2}}{2}. ]

Ответ:

[ \boxed{DC = \frac{5\sqrt{2}}{2}} ]

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник ( ACB ), где ( C ) — это прямой угол, ( A ) — вершина с углом ( 45^\circ ), и ( B ) — вершина с углом ( 45^\circ ) (так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ )).

1. Найдем длины сторон треугольника ( ACB ): Поскольку треугольник ( ACB ) является равнобедренным (углы ( A ) и ( B ) равны по ( 45^\circ )), стороны ( AC ) и ( BC ) равны. Обозначим их длину как ( x ).

   По теореме Пифагора имеем: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] Подставляем известные значения: [ 10^2 = x^2 + x^2 ] [ 100 = 2x^2 ] [ x^2 = 50 \implies x = 5\sqrt{2} ]

   Таким образом, ( AC = BC = 5\sqrt{2} ).

2. Рассмотрим треугольник ( ADC ): В этом треугольнике угол ( DAC = 30^\circ ), а угол ( ACD = 90^\circ ). Соответственно, угол ( ADC ) будет равен ( 60^\circ ) (поскольку сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ )).

3. Определим сторону ( DC ): В треугольнике ( ADC ) мы можем использовать соотношение между сторонами, используя синус и косинус.

   Обозначим длину ( DC ) как ( y ). Тогда по определению синуса и косинуса для угла ( DAC ): [ \sin(30^\circ) = \frac{DC}{AC} \implies \frac{1}{2} = \frac{y}{5\sqrt{2}} \implies y = \frac{5\sqrt{2}}{2} ]

   Таким образом, длина ( DC ) равна ( \frac{5\sqrt{2}}{2} ).

4. Подводим итог: Мы нашли, что длина отрезка ( DC ) в треугольнике ( ACB ), где угол ( DAC = 30^\circ ), составляет ( \frac{5\sqrt{2}}{2} ).

Ответ: ( DC = \frac{5\sqrt{2}}{2} ).