В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В катет АВ равен 8 см, а противолежащий угол С равен...

В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) с прямым углом ( B ) катет ( AB ) равен 8 см, а противолежащий угол ( C ) равен ( 30^\circ ). Нам нужно найти гипотенузу ( AC ).

Для начала вспомним, что в прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна ( 90^\circ ). Угол ( B ) равен ( 90^\circ ), и один из острых углов ( C ) равен ( 30^\circ ). Следовательно, второй острый угол ( A ) равен: [ A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. ]

Теперь используем свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен ( 30^\circ ), то катет, противолежащий этому углу, составляет половину гипотенузы. В данном случае катет ( AB ) противолежит углу ( C ), который равен ( 30^\circ ).

Обозначим гипотенузу ( AC ) через ( c ). Тогда согласно свойству треугольника: [ AB = \frac{1}{2} \cdot AC. ]

Подставляем известное значение ( AB ) (8 см): [ 8 = \frac{1}{2} \cdot AC. ]

Из этого уравнения найдём ( AC ): [ AC = 8 \cdot 2 = 16 \, \text{см}. ]

Таким образом, гипотенуза ( AC ) в прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) равна 16 см.

Для нахождения гипотенузы AC воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: AC = AB / sin(C), где AB = 8 см и угол C = 30 градусов. Сначала найдем sin(30 градусов) = 1/2. Теперь подставим значения: AC = 8 / (1/2) = 16 см. Таким образом, гипотенуза AC равна 16 см.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Так как мы знаем значение угла С и длину катета АВ, мы можем использовать тангенс угла С для нахождения гипотенузы:

tg(30°) = AC / AB

tg(30°) = AC / 8

AC = 8 * tg(30°)

AC = 8 * √3/3

AC = 8√3/3

Таким образом, гипотенуза треугольника АС равна 8√3/3 см.