. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120о, АС + АВ =...

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим сторону AC за х.

Из условия известно, что угол BAC равен 120 градусов, а AC + AB = 18 см.

Применим теорему косинусов для прямоугольного треугольника ABC: cos(120°) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 AC AB)

Так как треугольник прямоугольный, то BC = AC sin(30°) = AC 1/2 = AC / 2.

Подставим известные значения: cos(120°) = (x^2 + (18 - x)^2 - (x/2)^2) / (2 x (18 - x))

cos(120°) = -1/2

Теперь решим уравнение: (x^2 + (18 - x)^2 - x^2/4) = 18x

Разложим скобки: x^2 + (18 - x)^2 - x^2/4 = 18x x^2 + 324 - 36x + x^2 - x^2/4 = 18x 4x^2 + 4(324 - 36x) - x^2 = 72x 4x^2 + 1296 - 144x - x^2 = 72x 3x^2 - 216x + 1296 = 0 x^2 - 72x + 432 = 0 (x - 36)(x - 12) = 0

Получаем два решения: x1 = 36 и x2 = 12.

Таким образом, AC = 36 см, а AB = 18 - 36 = 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом ( C ). Дано, что внешний угол при вершине ( A ) равен ( 120^\circ ). Также известно, что сумма длин сторон ( AC ) и ( AB ) равна ( 18 ) см. Обозначим сторону ( AC ) за ( x ). Тогда, ( AB = 18 - x ).

Шаг 1: Определение углов

Поскольку угол ( C ) прямой (( 90^\circ )), внутренний угол при вершине ( A ) обозначим через ( \alpha ). Внешний угол при вершине ( A ) равен ( 120^\circ ), а сумма внутреннего и внешнего углов при вершине ( A ) равна ( 180^\circ ). Следовательно, [ \alpha + 120^\circ = 180^\circ ] Отсюда находим: [ \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ ]

Шаг 2: Определение угла B

Так как сумма всех углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), а один угол равен ( 90^\circ ) (угол ( C )), можем найти угол ( B ): [ \beta = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ]

Шаг 3: Применение тригонометрических функций

Используем соотношения в треугольнике с углами ( 30^\circ ) и ( 60^\circ ). Из тригонометрии известно, что в прямоугольном треугольнике:

[ \frac{AC}{AB} = \tan(\beta) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Подставим обозначенные переменные: [ \frac{x}{18 - x} = \frac{1}{\sqrt{3}} ] Решим это уравнение: [ x \cdot \sqrt{3} = 18 - x ] [ x\sqrt{3} + x = 18 ] [ x(\sqrt{3} + 1) = 18 ] [ x = \frac{18}{\sqrt{3} + 1} ]

Шаг 4: Упрощение выражения

Для упрощения знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( \sqrt{3} - 1 ): [ x = \frac{18(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} ] [ x = \frac{18(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} ] [ x = \frac{18(\sqrt{3} - 1)}{2} ] [ x = 9(\sqrt{3} - 1) ]

Шаг 5: Нахождение второй стороны

Теперь найдем длину ( AB ): [ AB = 18 - x = 18 - 9(\sqrt{3} - 1) ] [ AB = 18 - 9\sqrt{3} + 9 ] [ AB = 27 - 9\sqrt{3} ]

Итог

Таким образом, длины сторон ( AC ) и ( AB ) равны: [ AC = 9(\sqrt{3} - 1) ] [ AB = 27 - 9\sqrt{3} ]

Эти значения удовлетворяют условиям задачи.