В прямоугольном треугольнике АВС (угол С – прямой) катеты равны 5 см и 12 см. С центром в точке С проведена окружность. Каково взаимное расположение окружности и прямой АВ, если радиус окружности равен: а) 4 8/13 см б) 4 5/13 см в) 4 12/13 см.
В прямоугольном треугольнике АВС (угол С – прямой) катеты равны 5 см и 12 см. С центром в точке С проведена окружность. Каково взаимное расположение окружности и прямой АВ, если радиус окружности равен: а) 4 8/13 см б) 4 5/13 см в) 4 12/13 см.
Для того чтобы определить взаимное расположение окружности и прямой АВ, нужно учесть следующее:
Радиус окружности не должен превышать половину гипотенузы прямоугольного треугольника, так как в этом случае окружность будет пересекать сторону АВ.
Радиус окружности не должен быть меньше расстояния от центра окружности до стороны АВ, так как в этом случае окружность будет касаться стороны АВ.
Теперь рассмотрим каждый вариант радиуса окружности:
а) Радиус окружности равен 4 8/13 см. Гипотенуза треугольника равна √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 см, значит, половина гипотенузы равна 6,5 см. Радиус окружности 4 8/13 см меньше половины гипотенузы, следовательно, окружность касается стороны АВ.
б) Радиус окружности равен 4 5/13 см. Радиус окружности больше расстояния от центра окружности до стороны АВ, но меньше половины гипотенузы, следовательно, окружность пересекает сторону АВ.
в) Радиус окружности равен 4 12/13 см. Радиус окружности больше половины гипотенузы, следовательно, окружность пересекает сторону АВ.
Итак, взаимное расположение окружности и прямой АВ будет следующим: а) окружность касается стороны АВ б) окружность пересекает сторону АВ в) окружность пересекает сторону АВ.
В данном задании необходимо определить взаимное расположение окружности и прямой в зависимости от радиуса окружности. Рассмотрим каждую ситуацию отдельно.
Дан прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом в точке ( C ). Катеты ( AC = 5 ) см и ( BC = 12 ) см. Гипотенуза ( AB ) может быть найдена по теореме Пифагора:
[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 \text{ см}. ]
Центр окружности находится в точке ( C ), которая является вершиной прямого угла.
Прямая ( AB ) является гипотенузой треугольника и, следовательно, не проходит через точку ( C ). Определим расстояние от точки ( C ) до прямой ( AB ). Поскольку ( C ) является вершиной прямого угла, это расстояние будет равно высоте, опущенной из точки ( C ) на гипотенузу ( AB ).
Высота ( CH ) в прямоугольном треугольнике опускается из вершины прямого угла на гипотенузу и может быть найдена по формуле:
[ CH = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.615 \text{ см}. ]
а) Радиус ( R = 4 \frac{8}{13} ) см
[ R = \frac{60}{13} = 4.615 \text{ см}. ]
В данном случае радиус окружности равен высоте ( CH ), опущенной из точки ( C ) на гипотенузу. Это означает, что окружность касается прямой ( AB ) в одной точке. Таким образом, окружность и прямая ( AB ) касаются друг друга.
б) Радиус ( R = 4 \frac{5}{13} ) см
[ R = \frac{57}{13} \approx 4.385 \text{ см}. ]
Здесь радиус окружности меньше высоты ( CH ). Окружность полностью находится внутри треугольника и не пересекает прямую ( AB ). Следовательно, окружность и прямая ( AB ) не имеют общих точек.
в) Радиус ( R = 4 \frac{12}{13} ) см
[ R = \frac{64}{13} \approx 4.923 \text{ см}. ]
В этом случае радиус окружности больше высоты ( CH ). Это означает, что окружность пересекает прямую ( AB ) в двух точках. Следовательно, окружность и прямая ( AB ) пересекаются.
