В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам,...

Рассмотрим задачу по геометрии. Дано: прямоугольный треугольник с катетами ( a = 5 \, \text{см} ) и ( b = 12 \, \text{см} ). Через середину гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Нужно найти периметр получившегося прямоугольника.

Шаг 1. Найдём длину гипотенузы

Прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2}, ] где ( c ) — гипотенуза. Подставляем значения: [ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}. ]

Шаг 2. Найдём координаты середины гипотенузы

Обозначим вершины треугольника: ( A(0, 0) ), ( B(5, 0) ), ( C(0, 12) ). Тогда гипотенуза — это отрезок ( BC ). Чтобы найти середину гипотенузы ( M ), используем формулы средней точки: [ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}. ] Подставляем координаты ( B(5, 0) ) и ( C(0, 12) ): [ M_x = \frac{5 + 0}{2} = 2.5, \quad M_y = \frac{0 + 12}{2} = 6. ] Значит, середина гипотенузы ( M(2.5, 6) ).

Шаг 3. Проведём прямые, параллельные катетам

Прямые, параллельные катетам, будут горизонтальными и вертикальными. Это значит, что они проходят через середину гипотенузы ( M ), образуя прямоугольник. Поскольку прямые параллельны катетам, стороны прямоугольника будут равны половинам длины каждого катета.

• Горизонтальная сторона прямоугольника равна половине длины катета ( a = 5 \, \text{см} ): [ \text{Горизонтальная сторона} = \frac{a}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{см}. ]

• Вертикальная сторона прямоугольника равна половине длины катета ( b = 12 \, \text{см} ): [ \text{Вертикальная сторона} = \frac{b}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}. ]

Шаг 4. Найдём периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника определяется как сумма всех его сторон: [ P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина}). ] Подставляем длину и ширину: [ P = 2 \cdot (2.5 + 6) = 2 \cdot 8.5 = 17 \, \text{см}. ]

Ответ:

Периметр образовавшегося прямоугольника равен ( 17 \, \text{см} ).

Для решения задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике, у которого катеты равны ( a = 5 ) см и ( b = 12 ) см, можно найти длину гипотенузы ( c ) с помощью теоремы Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. ]

Теперь найдем координаты вершин треугольника. Установим координаты так, чтобы одна из вершин находилась в начале координат (0, 0), а остальные вершины были в точках (5, 0) и (0, 12). Таким образом, вершины треугольника:

• ( A(0, 0) )
• ( B(5, 0) )
• ( C(0, 12) )

Теперь найдем середину гипотенузы ( AB ). Чтобы найти координаты этой точки, воспользуемся формулой нахождения середины отрезка:

[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = M\left( \frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = M\left( 2.5, 0 \right). ]

Теперь проведем прямые, параллельные катетам. Параллельные катету ( AB ) (горизонтальная прямая) будет проведена через точку ( M(2.5, 0) ) и параллельная катету ( AC ) (вертикальная прямая) также через ( M ).

Прямая, параллельная ( AC ), будет вертикальной и проходить через ( x = 2.5 ). Прямая, параллельная ( AB ), будет горизонтальной и проходить через ( y = 0 ).

Теперь найдем координаты точек пересечения этих прямых с линиями, которые проходят через вершины ( B ) и ( C ):

1. Горизонтальная прямая, проходящая через ( M ), будет пересекаться с вертикальной прямой, проходящей через ( B(5, 0) ) и ( C(0, 12) ). Чтобы найти точку пересечения, нужно определить уравнение линии ( BC ).

Уравнение прямой ( BC ) можно найти по формуле:

[ y - y_1 = m(x - x_1), ]

где ( m ) — угловой коэффициент, равный ( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ). В данном случае:

[ m = \frac{12 - 0}{0 - 5} = -\frac{12}{5}. ]

Таким образом, уравнение прямой ( BC ):

[ y = -\frac{12}{5}x + 12. ]

Подставим ( y = 0 ) для нахождения точки пересечения:

[ 0 = -\frac{12}{5}x + 12 \implies \frac{12}{5}x = 12 \implies x = 5. ]

Следовательно, точка пересечения с горизонтальной прямой ( y = 0 ) будет ( (5, 0) ).

1. Вертикальная прямая, проходящая через ( M(2.5, 0) ), пересекает прямую ( AC ) (которая в этом случае — прямая, проходящая через ( A(0, 0) ) и ( C(0, 12) )).

Уравнение прямой ( AC ):

[ x = 0. ]

Таким образом, можно провести прямые, которые создадут прямоугольник, с вершинами в следующих точках:

• ( (2.5, 0) ) — точка на гипотенузе, параллельна горизонтали;
• ( (2.5, 12) ) — вертикальная прямая;
• ( (5, 0) ) — горизонтальная;
• ( (5, 12) ) — точка пересечения.

Теперь, чтобы найти периметр образовавшегося прямоугольника, вспомним формулу для периметра прямоугольника:

[ P = 2(a + b), ]

где ( a ) и ( b ) — длины сторон. В данном случае:

• Длина одной стороны (вдоль катета 5 см) = ( 5 - 2.5 = 2.5 ) см;
• Длина другой стороны (вдоль катета 12 см) = ( 12 - 0 = 12 ) см;

Теперь подставим эти значения в формулу для периметра:

[ P = 2(2.5 + 12) = 2 \times 14.5 = 29 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр образовавшегося прямоугольника равен ( 29 ) см.