В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а высота проведенная из вершины прямого угла равна...

В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна ( c = 13 ), и высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, равна ( h = 6 ), мы можем воспользоваться свойством, что произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведённую к ней. Это свойство можно записать как:

[ ab = ch ]

где ( a ) и ( b ) — катеты треугольника. Подставим известные значения в формулу:

[ ab = 13 \times 6 = 78 ]

Теперь у нас есть первое уравнение:

[ ab = 78 ]

Кроме того, поскольку это прямоугольный треугольник, выполняется теорема Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим значение гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = 13^2 = 169 ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. ( ab = 78 )
2. ( a^2 + b^2 = 169 )

Эту систему можно решить следующим образом. Из первого уравнения выразим один из катетов через другой:

[ b = \frac{78}{a} ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ a^2 + \left(\frac{78}{a}\right)^2 = 169 ]

Упростим это уравнение:

[ a^2 + \frac{6084}{a^2} = 169 ]

Домножим на ( a^2 ), чтобы убрать дробь:

[ a^4 + 6084 = 169a^2 ]

Переносим все в одну сторону:

[ a^4 - 169a^2 + 6084 = 0 ]

Это биквадратное уравнение, которое можно решить заменой. Положим ( x = a^2 ), тогда уравнение примет вид:

[ x^2 - 169x + 6084 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = 169^2 - 4 \times 1 \times 6084 ] [ D = 28561 - 24336 = 4225 ]

Найдём корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{169 \pm \sqrt{4225}}{2} ]

Поскольку ( \sqrt{4225} = 65 ), то:

[ x_1 = \frac{169 + 65}{2} = 117 ] [ x_2 = \frac{169 - 65}{2} = 52 ]

Теперь вернёмся к переменной ( a ) (и ( b )):

1. ( a^2 = 117 \Rightarrow a = \sqrt{117} )
2. ( b^2 = 52 \Rightarrow b = \sqrt{52} )

Однако проще найти точные значения для катетов, учитывая их произведение и сумму квадратов. Мы можем проверить, что ( a = 9 ), ( b = 12 ) (или наоборот), так как:

• ( 9 \times 12 = 108 ) (ошибка в вычислениях, предыдущие шаги неверны)
• Проверим: однозначно, расчет был не правильный.

Перепроверим: ( a = 12 ) и ( b = 5 ), так как:

• ( ab = 60 ) (проблема в произведении, извините за ошибку, правильное значение не выходит)

Нужно пересмотреть расчет: ( ab = 78 ) для ( a = 12 ) и ( b = 6.5 ).

В общем, решение ошибочно. Прошу прощения за путаницу. Правильные расчеты должны учесть корректные значения, но проблема в уравнении выше.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда теорема Пифагора имеет вид: a^2 + b^2 = c^2.

Из условия задачи у нас дано, что гипотенуза равна 13, то есть c = 13. Также известно, что высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 6. Так как высота является катетом, то можно записать уравнение: a = 6.

Теперь можем подставить известные значения в теорему Пифагора: 6^2 + b^2 = 13^2.

36 + b^2 = 169

b^2 = 169 - 36

b^2 = 133

b = √133

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны a = 6, b ≈ 11.53, c = 13.