В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол лежащий напротив него равен 60 градусам....

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен 10, а угол напротив него равен 60 градусам, мы можем следовать следующим шагам:

1. Понимание треугольника:

   • У нас есть прямоугольный треугольник, где один из катетов равен 10.
   • Угол напротив этого катета равен 60 градусам.
   • Это значит, что треугольник имеет углы 30°, 60° и 90°.

2. Определение второго катета:

   • В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° стороны имеют следующие соотношения: катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы, а катет напротив угла 60° равен (\frac{\sqrt{3}}{2}) от гипотенузы.
   • В данном случае катет, равный 10, напротив угла 60°, поэтому он равен (\frac{\sqrt{3}}{2}) от гипотенузы.

3. Поиск гипотенузы:

   • Пусть гипотенуза равна (c).
   • Тогда (10 = \frac{\sqrt{3}}{2}c).
   • Решим это уравнение: (c = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}).
   • Рационализируем знаменатель: (c = \frac{20\sqrt{3}}{3}).

4. Поиск второго катета:

   • Второй катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: [ b = \frac{c}{2} = \frac{20\sqrt{3}}{3 \times 2} = \frac{10\sqrt{3}}{3} ]

5. Вычисление площади треугольника:

   • Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times a \times b ]
   • Подставим известные значения: (a = 10) и (b = \frac{10\sqrt{3}}{3}). [ S = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{100\sqrt{3}}{6} = \frac{50\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, площадь треугольника равна (\frac{50\sqrt{3}}{3}).

Площадь треугольника равна 25 единицам.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, когда известен один из катетов и угол между этим катетом и гипотенузой, можно воспользоваться формулой:

S = (a b sin(угол между ними)) / 2,

где a и b - длины катетов, угол между ними равен 60 градусам.

Имеем катет a = 10 и угол между катетами 60 градусов. Подставляем данные в формулу:

S = (10 10 sin(60)) / 2 = (100 * √3) / 2 = 50√3.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 50√3.