В прямоугольном треугольнике острый угол равен 45 градусов, а высота , поведенная к гипотенузе, равна...

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45 градусов. Это значит, что треугольник является равнобедренным, так как в нем два угла по 45 градусов и один угол 90 градусов. Следовательно, два катета равны между собой.

Обозначим катеты треугольника как ( a ). Тогда площадь треугольника равна:

[ S = \frac{1}{2} a^2 ]

В условии сказано, что высота, проведенная к гипотенузе, равна 9 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на две равные части и равна:

[ h = \frac{a \cdot a}{2a} = \frac{a}{2} ]

Из этого следует, что:

[ \frac{a}{2} = 9 ] [ a = 18 ]

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 18^2 = \frac{1}{2} \cdot 324 = 162 \, \text{кв. см} ]

Равнобедренная трапеция

Для равнобедренной трапеции с тупым углом 150 градусов и боковой стороной 6 см, нам нужно найти периметр.

Площадь трапеции выражается формулой:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ]

где ( a ) и ( b ) — основания трапеции, ( h ) — высота.

Из геометрии можно вывести, что высота трапеции ( h ) связана с боковой стороной и углом:

[ h = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot 0.5 = 3 \, \text{см} ]

Мы знаем, что площадь ( S = 66 \, \text{кв. см} ):

[ 66 = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot 3 ]

Отсюда:

[ 66 = \frac{3}{2} \cdot (a + b) ] [ 44 = a + b ]

Теперь, чтобы найти периметр, прибавим длины всех сторон:

[ P = a + b + 2c ]

где ( c = 6 ) см — боковая сторона.

Получаем:

[ P = 44 + 2 \cdot 6 = 44 + 12 = 56 \, \text{см} ]

Таким образом, периметр трапеции равен 56 см.

Для решения первой задачи нам необходимо найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Так как у нас есть острый угол в 45 градусов, то мы можем использовать соотношение сторон треугольника, известное как теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Так как один из катетов равен 9 см, то мы можем найти второй катет: 9^2 + b^2 = c^2 81 + b^2 = c^2 b^2 = c^2 - 81

Так как острый угол равен 45 градусов, то катеты треугольника равны между собой, поэтому b = c - 9. Подставляем это в уравнение:

(c-9)^2 = c^2 - 81 c^2 - 18c + 81 = c^2 - 81 18c = 162 c = 9

Теперь, когда мы нашли длину гипотенузы (9 см), можем найти площадь прямоугольного треугольника: S = (a b) / 2 = (9 9) / 2 = 40.5 кв.см

Для второй задачи нам необходимо найти боковую сторону трапеции, используя теорему косинусов. Пусть a и b - основания трапеции, c - боковая сторона, и угол между основанием a и боковой стороной c равен 150 градусов.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(150) c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 6 6 cos(150) c^2 = 36 + 36 - 72 * (-0.866) c^2 = 72 + 62.112 c = sqrt(134.112) c ≈ 11.58 см

Теперь мы можем найти периметр трапеции: P = a + b + 2c = 6 + 6 + 2 * 11.58 = 35.16 см

Итак, периметр трапеции равен 35.16 см.