В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9...

В данном прямоугольном треугольнике, вписанная окружность касается гипотенузы в точке, делящей её на отрезки длиной 6 см и 9 см. Это означает, что гипотенуза имеет длину 6 + 9 = 15 см.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как (a), (b) и гипотенузу (c). Пусть (a) и (b) — это катеты, а (c) — гипотенуза, равная 15 см. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны (c - b = 6) и (c - a = 9).

Также известно, что радиус вписанной окружности (r) равен 3 см. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно выразить через длины сторон как:

[ r = \frac{a + b - c}{2} ]

Подставляя известные значения:

[ 3 = \frac{a + b - 15}{2} ]

Решая это уравнение, получаем:

[ a + b - 15 = 6 ] [ a + b = 21 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. (a + b = 21)
2. (c - b = 6) (\Rightarrow b = 15 - 6 = 9)
3. (c - a = 9) (\Rightarrow a = 15 - 9 = 6)

Теперь проверим, удовлетворяет ли набор (a = 6), (b = 9), (c = 15) условию прямоугольного треугольника:

[ a^2 + b^2 = c^2 ] [ 6^2 + 9^2 = 15^2 ] [ 36 + 81 = 225 ] [ 117 \neq 225 ]

Таким образом, мы получили противоречие, что означает ошибку в предположениях. Попробуем другой подход.

Зная, что (b = 9) и (a = 6), используем формулу для радиуса вписанной окружности:

[ r = \frac{a + b - c}{2} ]

Теперь, пересчитывая через факт, что (c = 15):

[ 3 = \frac{6 + 9 - 15}{2} ]

Таким образом, мы пришли к выводу, что (a = 9), (b = 6) и (c = 15) тоже не подходят, так как при пересчете выявляется противоречие. В этой задаче, вероятно, ошибка в условиях, так как такого распределения отрезков быть не может при данных параметрах, либо мы неверно выбрали подходящую конфигурацию.

Однако, если рассмотреть другую конфигурацию, то: Попробуем (a = 9), (b = 12) и (c = 15): [ c - b = 6] [ c - a = 9]

И проверим: [ 9^2 + 12^2 = 15^2] [ 81 + 144 = 225] [ 225 = 225]

Это верно. Теперь находим периметр треугольника: [ P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см}]

Таким образом, периметр треугольника равен 36 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство прямоугольного треугольника, связанное с вписанной окружностью. Точка касания вписанной окружности с прямоугольным треугольником делит сторону, касающуюся окружности, на два отрезка, равные сумме и разности катетов.

Итак, у нас дано, что отрезки гипотенузы равны 6 см и 9 см, а радиус вписанной окружности равен 3 см. Обозначим катеты треугольника как a и b. Тогда сумма и разность катетов будут равны 6 и 9 соответственно.

Таким образом, получаем систему уравнений: a + b = 9, a - b = 6.

Решая данную систему уравнений, находим, что a = 7.5 см и b = 1.5 см. Теперь можем найти гипотенузу по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза.

c^2 = 7.5^2 + 1.5^2, c^2 = 56.25 + 2.25, c^2 = 58.5, c = √58.5, c ≈ 7.65 см.

Теперь можем найти периметр треугольника, сложив длины всех его сторон: Периметр = a + b + c + 2r, Периметр = 7.5 + 1.5 + 7.65 + 2*3, Периметр = 16.65 + 6, Периметр = 22.65 см.

Итак, периметр прямоугольного треугольника равен 22.65 см.