В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой,проведёнными из вершины прямого угла,равен 14 градусов.Найдите меньший из двух острыхуглов треугольника. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой,проведёнными из вершины прямого угла,равен 14 градусов.Найдите меньший из двух острыхуглов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть угол между высотой и медианой равен 14 градусов. Обозначим меньший из двух острых углов треугольника через x. Так как угол между медианой и стороной прямоугольного треугольника равен 90 градусов, то угол между высотой и медианой равен (90 - x) градусов.
Согласно свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол пополам. Таким образом, угол между высотой и медианой равен (90 - x) / 2 = 14 градусов.
Отсюда получаем уравнение: (90 - x) / 2 = 14 90 - x = 28 x = 62
Таким образом, меньший из двух острых углов треугольника равен 62 градуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ( ABC ) с прямым углом ( \angle C = 90^\circ ). Обозначим вершину прямого угла как ( C ), гипотенузу как ( AB ), и катеты как ( AC ) и ( BC ).
Пусть ( CH ) — высота, опущенная из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ), и ( CM ) — медиана, проведённая из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ).
Из условия задачи известно, что угол между высотой ( CH ) и медианой ( CM ) равен ( 14^\circ ). То есть, ( \angle HCM = 14^\circ ).
Так как ( CM ) — медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, то она делит гипотенузу пополам, и точка ( M ) является серединой ( AB ).
Теперь вспомним важное свойство медианы в прямоугольном треугольнике: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, ( CM = \frac{1}{2} AB ).
Рассмотрим треугольник ( CHM ). В этом треугольнике известен один угол ( \angle HCM = 14^\circ ). Поскольку ( CH ) перпендикулярна ( AB ), то ( \angle HCB = 90^\circ ). Таким образом, ( \angle MCB = \angle HCB - \angle HCM = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ ).
Кроме того, заметим, что угол ( \angle MCB ) является одним из углов треугольника ( ABC ). Поскольку ( \angle C = 90^\circ ), то оставшиеся два угла ( \angle A ) и ( \angle B ) являются острыми и их сумма равна ( 90^\circ ). Пусть ( \angle A = \alpha ) и ( \angle B = \beta ).
Из треугольника ( CHM ) мы также знаем, что ( \angle HCM = 14^\circ ). Поэтому: [ \alpha = \angle MCB = 76^\circ ]
Таким образом, меньший из двух острых углов треугольника ( ABC ) равен ( 14^\circ ).
Ответ: 14 градусов.
Меньший из двух острых углов треугольника равен 76 градусов.
