В правильной четырех угольной пирамиде боковые ребра равны 10 см и образуют угол 60 градусов с плоскостью...

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды необходимо найти площадь основания и площадь боковых граней.

1. Площадь основания: Основание - квадрат. Обозначим длину стороны квадрата как ( a ). Боковые ребра образуют угол 60° с плоскостью основания. По отношению к боковому ребру, которое равно 10 см, можно определить высоту ( h ) треугольника, образованного боковым ребром и высотой из вершины пирамиды до центра основания: [ h = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot 0.5 = 5 \text{ см}. ] Используя высоту, можно найти длину стороны квадрата ( a ) через основание равнобедренного треугольника: [ a = 2 \cdot (10 \cdot \sin(60°)) = 2 \cdot (10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3} \text{ см}. ] Площадь основания ( S{осн} ): [ S{осн} = a^2 = (10\sqrt{3})^2 = 300 \text{ см}^2. ]

2. Площадь боковых граней: Каждая боковая грань - равнобедренный треугольник с основанием ( a ) и высотой ( h ). Площадь одной боковой грани: [ S{бок. грань} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l, ] где ( l ) - длина бокового ребра (10 см). Площадь одной боковой грани: [ S{бок. грань} = \frac{1}{2} \cdot (10\sqrt{3}) \cdot 10 = 50\sqrt{3} \text{ см}^2. ] Так как у пирамиды 4 боковые грани, общая площадь боковых граней: [ S_{бок. грани} = 4 \cdot 50\sqrt{3} = 200\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

3. Общая площадь поверхности: [ S{пов.} = S{осн} + S_{бок. грани} = 300 + 200\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет ( 300 + 200\sqrt{3} ) см².

Для решения задачи начнем с определения параметров правильной четырехугольной пирамиды. В такой пирамиде основание является квадратом, и все боковые грани – треугольники, которые имеют одинаковую высоту и равные боковые ребра.

1. Определение высоты боковых ребер: Боковые ребра пирамиды равны 10 см и образуют угол 60 градусов с плоскостью основания. Чтобы найти высоту бокового ребра, воспользуемся тригонометрией. В данном случае высота бокового ребра (h) может быть найдена через:

   [ h = l \cdot \sin(\alpha) ]

   где ( l = 10 ) см — длина бокового ребра, а ( \alpha = 60^\circ ).

   Подставляем значения:

   [ h = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

2. Определение стороны основания: Чтобы найти сторону основания (a) квадрата, воспользуемся косинусом угла между боковым ребром и высотой, проведенной к центру основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания будет равна:

   [ d = l \cdot \cos(\alpha) = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} ]

   Это расстояние ( d ) — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Поскольку основание – квадрат, расстояние от центра основания до одной из его вершин равняется:

   [ \frac{a}{\sqrt{2}} ]

   Учитывая, что эта величина равна ( d ):

   [ d = \frac{a}{\sqrt{2}} \implies 5 = \frac{a}{\sqrt{2}} \implies a = 5\sqrt{2} \text{ см} ]

3. Площадь основания: Площадь основания квадрата (S_осн):

   [ S_{\text{осн}} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 \text{ см}^2 ]

4. Площадь боковых граней: Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником, основание которого равно стороне квадрата (a), а высота равна высоте бокового ребра (h).

   Площадь одной боковой грани (S_бок):

   [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{3}) = \frac{25\sqrt{6}}{2} \text{ см}^2 ]

   Поскольку в пирамиде 4 боковые грани, общая площадь боковых граней:

   [ S{\text{боковые}} = 4 \cdot S{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{6}}{2} = 50\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

5. Общая площадь поверхности: Общая площадь поверхности пирамиды (S_общ) будет равна сумме площади основания и площади боковых граней:

   [ S{\text{общ}} = S{\text{осн}} + S_{\text{боковые}} = 50 + 50\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет:

[ S_{\text{общ}} = 50 + 50\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

Для решения задачи найдем площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, которая состоит из площади основания и площади четырех боковых треугольников.

Дано:

• Боковые ребра пирамиды ( a = 10 \, \text{см} ),
• Угол между боковыми ребрами и плоскостью основания ( \alpha = 60^\circ ).

Шаг 1. Найдем сторону основания

Основание пирамиды — правильный четырехугольник (квадрат). Пусть сторона квадрата равна ( b ). Высота боковой грани, проведённая из её вершины к середине стороны основания, составляет высоту равнобедренного треугольника (боковой грани).

Высота боковой грани, ( h{\text{бок}} ), связана с боковым ребром ( a ) и углом ( \alpha ) следующим образом: [ h{\text{бок}} = a \cdot \sin \alpha = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Теперь определим половину диагонали основания, так как высота боковой грани проходит через центр квадрата и делит диагональ основания пополам. Диагональ квадрата выражается через его сторону ( b ) как: [ d = b\sqrt{2}. ] Половина диагонали: [ \frac{d}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}. ]

Из треугольника, образованного высотой боковой грани, половиной диагонали основания и боковым ребром, по теореме Пифагора имеем: [ a^2 = h{\text{бок}}^2 + \left( \frac{b\sqrt{2}}{2} \right)^2. ] Подставим известные значения ( a = 10 ) и ( h{\text{бок}} = 5\sqrt{3} ): [ 10^2 = (5\sqrt{3})^2 + \left( \frac{b\sqrt{2}}{2} \right)^2. ] Рассчитаем: [ 100 = 75 + \frac{b^2 \cdot 2}{4}. ] [ 100 = 75 + \frac{b^2}{2}. ] [ 25 = \frac{b^2}{2}. ] [ b^2 = 50. ] [ b = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{см}. ]

Шаг 2. Площадь основания

Площадь основания ( S{\text{осн}} ) равна площади квадрата со стороной ( b ): [ S{\text{осн}} = b^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 \, \text{см}^2. ]

Шаг 3. Площадь боковых граней

Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием ( b = 5\sqrt{2} ) и высотой ( h{\text{бок}} = 5\sqrt{3} ). Площадь одной боковой грани ( S{\text{бок}} ) равна: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3}. ] [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sqrt{6} = \frac{25\sqrt{6}}{2} \, \text{см}^2. ]

Пирамида имеет 4 боковые грани, поэтому общая площадь боковых граней: [ S{\text{бок, общ}} = 4 \cdot S{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{6}}{2} = 50\sqrt{6} \, \text{см}^2. ]

Шаг 4. Полная площадь поверхности

Полная площадь поверхности ( S{\text{полн}} ) складывается из площади основания и площади боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок, общ}}. ] [ S_{\text{полн}} = 50 + 50\sqrt{6}. ]

Ответ:

Площадь поверхности пирамиды равна: [ S_{\text{полн}} = 50 + 50\sqrt{6} \, \text{см}^2. ]