В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна 4 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите: 1) Сторону основания пирамиды; 2) Высоту пирамиды; 3) Полную поверхность пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна 4 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите: 1) Сторону основания пирамиды; 2) Высоту пирамиды; 3) Полную поверхность пирамиды.
Для решения задачи о правильной четырёхугольной пирамиде, давайте обозначим:
Из условия задачи нам даны следующие параметры:
Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Апофема ( s ) является расстоянием от вершины пирамиды до середины стороны основания по вертикали.
Сначала мы можем рассмотреть треугольник, образованный высотой пирамиды ( h ), половиной стороны основания ( \frac{a}{2} ) и апофемой ( s ):
[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]
Подставим известные значения ( s = 4 ):
[ 4^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \implies 16 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \tag{1} ]
Теперь рассмотрим другой треугольник, образованный высотой пирамиды ( h ), боковым ребром ( l ) и апофемой ( s ):
[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]
Подставим известные значения ( l = 5 ):
[ 5^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \implies 25 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \tag{2} ]
Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2):
Из уравнения (1):
[ h^2 = 16 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]
Подставим это значение в уравнение (2):
[ 25 = (16 - \left(\frac{a}{2}\right)^2) + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]
Упростим:
[ 25 = 16 \implies \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25 - 16 \implies \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 9 ]
Следовательно:
[ \frac{a}{2} = 3 \implies a = 6 \text{ см} ]
Теперь подставим значение ( a = 6 ) см в уравнение (1):
[ h^2 = 16 - \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 16 - 3^2 = 16 - 9 = 7 ] [ h = \sqrt{7} \approx 2.65 \text{ см} ]
Полная поверхность ( S ) состоит из площади основания и площади боковых граней.
Площадь основания ( S_{осн} ):
[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 ]
Площадь боковых граней. Пирамида имеет 4 треугольные боковые грани. Площадь одной боковой грани (треугольника) можно найти по формуле:
[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s ]
Подставим значения:
[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2 ]
Так как у нас 4 боковые грани:
[ S_{бок. общ} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2 ]
Теперь вычислим полную поверхность:
[ S{пол} = S{осн} + S_{бок. общ} = 36 + 48 = 84 \text{ см}^2 ]
1) Сторона основания пирамиды: ( 6 ) см. 2) Высота пирамиды: ( \sqrt{7} ) см (примерно ( 2.65 ) см). 3) Полная поверхность пирамиды: ( 84 ) см².
Для решения задачи по геометрии разберем её шаг за шагом, используя известные формулы и свойства правильной четырёхугольной пирамиды.
Дано:
Нужно найти:
В правильной четырёхугольной пирамиде апофема, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
[ b^2 = a^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2, ]
где ( b ) — боковое ребро, ( a ) — апофема, а ( \frac{s}{2} ) — половина стороны основания. Подставим известные значения:
[ 5^2 = 4^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2. ]
Выполним вычисления:
[ 25 = 16 + \left(\frac{s}{2}\right)^2, ]
[ \left(\frac{s}{2}\right)^2 = 25 - 16, ]
[ \left(\frac{s}{2}\right)^2 = 9. ]
Извлечем корень:
[ \frac{s}{2} = 3. ]
Умножим на 2, чтобы найти сторону основания:
[ s = 6 \, \text{см}. ]
Итак, сторона основания равна ( s = 6 \, \text{см} ).
Высота пирамиды ( h ), апофема ( a ) и радиус вписанной окружности основания (половина диагонали основания) образуют прямоугольный треугольник. Сначала найдем радиус вписанной окружности основания:
Для квадрата со стороной ( s ), диагональ ( d ) выражается как:
[ d = s \sqrt{2}. ]
Радиус вписанной окружности равен половине диагонали:
[ r = \frac{d}{2} = \frac{s \sqrt{2}}{2}. ]
Подставим ( s = 6 ):
[ r = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}. ]
Теперь используем теорему Пифагора для треугольника, где высота ( h ), радиус ( r ) и апофема ( a ) связаны:
[ a^2 = h^2 + r^2. ]
Подставим известные значения ( a = 4 ) и ( r = 3 \sqrt{2} ):
[ 4^2 = h^2 + (3\sqrt{2})^2. ]
Выполним вычисления:
[ 16 = h^2 + 18, ]
[ h^2 = 16 - 18, ]
[ h^2 = -2. ]
Для правильной четырехугольной пирамиды:
1) Сторона основания пирамиды: Пусть ( a ) — сторона основания, ( h_a ) — апофема, и ( l ) — боковое ребро. Используем теорему Пифагора для правого треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и высотой бокового ребра: [ h_a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 ] Где ( h ) — высота пирамиды. Также: [ l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 ] Подставляем данные: ( h_a = 4 ) см и ( l = 5 ) см:
Теперь у нас есть две системы уравнений. Из (1) получаем: [ 16 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \quad (1) ] Из (2) получаем: [ 25 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \quad (2) ]
Вычтем уравнение (1) из (2): [ 25 - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ \frac{a}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 6 \text{ см} ]
2) Высота пирамиды: Подставим значение ( a = 6 ) см обратно в одно из уравнений для нахождения высоты: [ 16 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 + h^2 ] [ 16 = 9 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 7 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{7} \text{ см} \approx 2.65 \text{ см} ]
3) Полная поверхность пирамиды: Полная поверхность ( S ) состоит из площади основания и площади боковых граней: [ S = S{осн} + S{бок} ] Площадь основания: [ S{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 ] Площадь боковых граней (4 треугольника): [ S{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 48 \text{ см}^2 ] Полная поверхность: [ S = 36 + 48 = 84 \text{ см}^2 ]
Ответы: 1) 6 см; 2) ( \sqrt{7} ) см (≈ 2.65 см); 3) 84 см².
