В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равно 8 корней из 2 см, а двугранный угол...

Для начала найдем сторону основания правильной четырехугольной пирамиды. Поскольку основание пирамиды – квадрат, и диагональ квадрата равна (8\sqrt{2}) см, то сторона квадрата (обозначим (a)) будет равна: [ a = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \text{ см} ]

Далее, для расчета площади полной поверхности пирамиды нам нужно найти площадь основания и площади всех боковых граней. Площадь основания проста: [ S_{\text{осн}} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 ]

Теперь найдем площадь одной из боковых граней. Каждая боковая грань – равнобедренный треугольник с основанием (a) и высотой, опущенной на это основание из вершины пирамиды.

Высота каждой боковой грани (обозначим (h)) может быть найдена через двугранный угол при основании, который равен 60 градусов. Этот угол образован линией высоты боковой грани и плоскостью основания. Если мы построим высоту пирамиды (H) из вершины на плоскость основания (она будет перпендикулярна основанию и проходить через центр квадрата), то треугольник, образованный высотой (H), половиной диагонали основания (которая равна (4\sqrt{2}) см) и высотой боковой грани, будет прямоугольным. Таким образом, можно использовать формулу: [ \tan(60^\circ) = \frac{h}{4\sqrt{2}} ] [ h = 4\sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\cdot 2\cdot \sqrt{1.5} = 8\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь найдем площадь одной боковой грани: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Поскольку боковых граней четыре, общая площадь боковых граней будет: [ S_{\text{боков}} = 4 \cdot 32\sqrt{3} = 128\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{боков}} = 64 + 128\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Для начала найдем высоту пирамиды. Обозначим ее как h. Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то боковые грани равнобедренные треугольники. Значит, мы можем разделить пирамиду на 4 равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет высоту h и основание 8 корней из 2 см. Также у нас есть двугранный угол при основании, равный 60 градусов. Это означает, что боковая грань треугольника является равнобедренным треугольником со сторонами 8 корней из 2 см, 8 корней из 2 см и боковой гранью высотой h.

Из этого можно составить уравнение, используя теорему косинусов: (8√2)^2 = h^2 + (8√2/2)^2 - 2 h 8√2/2 * cos(60°) 128 = h^2 + 16 - 8h h^2 - 8h + 112 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем значение h.

После того, как мы найдем высоту пирамиды, можем найти площадь полной поверхности пирамиды, используя формулу: S = Sосн + 4 * Sбок, где Sосн - площадь основания, а Sбок - площадь боковой грани.

Площадь основания равна Sосн = (8√2)^2 = 128 см^2.

Площадь боковой грани можно найти, используя формулу для площади треугольника: Sбок = 1/2 a b * sin(60°), где a и b - стороны треугольника, а угол - двугранный угол при основании.

После того, как мы найдем площадь боковой грани, можем подставить все значения в формулу для площади полной поверхности пирамиды и рассчитать ее.