В правильной четырёхугольной пирамиде sabcd с основанием abcd проведено сечение через середины рёбер...

Для решения задачи найдем площадь сечения, которое проходит через середины рёбер AB и BC, а также вершину S пирамиды.

1. Параметры пирамиды:

   • Основание ABCD — квадрат со стороной ( AB = BC = CD = DA = 4 ).
   • Боковое ребро ( SA = SB = SC = SD = 5 ).

2. Определение середины рёбер:

   • Медиана ( M ) на ребре ( AB ): ( M ) имеет координаты ( \left(2, 0, 0\right) ).
   • Медиана ( N ) на ребре ( BC ): ( N ) имеет координаты ( \left(4, 2, 0\right) ).

3. Координаты вершины ( S ):

   • Поскольку пирамида правильная и симметричная относительно центра основания, вершина ( S ) будет находиться на перпендикуляре, проходящем через центр основания. Центр основания ( O ) имеет координаты (\left(2, 2, 0\right)).
   • Поскольку ( SA = SB = SC = SD = 5 ), а ( OA = 2\sqrt{2} ), высота пирамиды ( SO ) находится из прямоугольного треугольника ( SAO ) по теореме Пифагора: ( SO = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 8} = \sqrt{17} ).
   • Таким образом, координаты вершины ( S ) — (\left(2, 2, \sqrt{17}\right)).

4. Определение плоскости сечения:

   • Сечение проходит через точки ( M(2, 0, 0) ), ( N(4, 2, 0) ) и ( S(2, 2, \sqrt{17}) ).

5. Векторное представление:

   • Вектор ( \overrightarrow{MN} = (4 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (2, 2, 0) ).
   • Вектор ( \overrightarrow{MS} = (2 - 2, 2 - 0, \sqrt{17} - 0) = (0, 2, \sqrt{17}) ).

6. Векторное произведение:

   • ( \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MS} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 2 & 0 \ 0 & 2 & \sqrt{17} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\sqrt{17} - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(4 - 0) = (2\sqrt{17}, 0, 4) ).

7. Площадь треугольника:

   • Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: [ S = \frac{1}{2} \sqrt{(2\sqrt{17})^2 + 0^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{68 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{84} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{21} = \sqrt{21}. ]

Таким образом, площадь указанного сечения равна (\sqrt{21}).

Для нахождения площади сечения, проведенного через середины ребер ab и bc и вершину s, необходимо разбить данную пирамиду на два тетраэдра и прямоугольный трапецию.

Сначала найдем площадь одного из тетраэдров. Для этого используем формулу площади тетраэдра: S = 1/2 osnovanie vysota, где osnovanie - сторона основания, vysota - высота тетраэдра. Поскольку у нас задано, что сторона основания равна 4, а высота равна половине бокового ребра (так как сечение проходит через середины ребер ab и bc и вершину s), то vysota = 2.5 (половина бокового ребра). Таким образом, площадь одного тетраэдра S1 = 1/2 4 2.5 = 5.

Затем найдем площадь прямоугольной трапеции, образованной сечением. Для этого нужно найти длины боковых сторон трапеции. Рассмотрим правильный треугольник abs (где s - вершина пирамиды, а - середина ребра ab, b - середина ребра bc), в котором сторона ab равна 4, а высота равна 2.5. По теореме Пифагора находим длину стороны as: as = sqrt(ab^2 + bs^2) = sqrt(4^2 + 2.5^2) = sqrt(16 + 6.25) = sqrt(22.25) ≈ 4.72. Так как сечение проходит через середины ребер ab и bc, то длина стороны ad равна 4.72.

Итак, площадь сечения представляет собой прямоугольную трапецию со сторонами 4 и 4.72 и высотой 5. Для нахождения ее площади воспользуемся формулой для площади трапеции: S2 = (a + b) h / 2, где a и b - длины параллельных сторон, h - высота трапеции. Подставляя известные значения, получаем: S2 = (4 + 4.72) 5 / 2 = 8.36 * 5 / 2 ≈ 20.9.

Таким образом, площадь сечения, проведенного через середины ребер ab и bc и вершину s в данной пирамиде, равна около 20.9 (единицы площади).