В правильной четырехугольной пирамиде высота 4 см. Плоский угол при вершине 60 градусов. Найти площадь...

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 см и плоским углом при вершине 60 градусов, можно воспользоваться формулой:

S = (1/2) p l,

где S - площадь боковой поверхности, p - периметр основания пирамиды, l - длина боковой грани.

Для начала найдем длину боковой грани. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковой гранью:

l^2 = h^2 + (d/2)^2 - 2 h (d/2) * cos(60),

l^2 = 4^2 + (a/2)^2 - 4 a/2 cos(60), l^2 = 16 + a^2/4 - 2 a cos(60), l^2 = 16 + a^2/4 - a.

Так как пирамида правильная, то длина боковой грани равна длине стороны основания, поэтому a = l.

Из уравнения l^2 = 16 + a^2/4 - a получаем:

l^2 = 16 + l^2/4 - l, 3l = 16, l = 16 / 3.

Теперь найдем периметр основания пирамиды:

p = 4a, p = 4 * (16 / 3), p = 64 / 3.

И, наконец, вычислим площадь боковой поверхности:

S = (1/2) p l, S = (1/2) (64 / 3) (16 / 3), S = 512 / 9.

Площадь боковой поверхности пирамиды составляет 512 / 9 квадратных сантиметров.

Для решения вопроса о площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, где известна высота и плоский угол при вершине, пройдем следующие шаги.

1. Расчет длины апофемы (боковой высоты) пирамиды

   В правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Апофема (L) – это высота такого треугольника, опущенная из вершины пирамиды на середину одного из оснований.

   Угол при вершине, который делит апофему пополам, составляет 60 градусов. Тогда половина этого угла составляет 30 градусов. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где апофема (L) это гипотенуза, а высота (H) пирамиды является одним из катетов, можно найти второй катет (Y), который является половиной стороны основания.

   [ \cos(30^\circ) = \frac{4}{L} \Rightarrow L = \frac{4}{\cos(30^\circ)} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \text{ см} ]

2. Нахождение стороны основания (a)

   Теперь, когда мы знаем апофему, можно найти сторону основания (a) пирамиды:

   [ \sin(30^\circ) = \frac{4}{L} \Rightarrow a = 2Y = 2 \times 4 \tan(30^\circ) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \text{ см} ]

3. Площадь одной боковой грани

   Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) равна:

   [ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \times a \times L = \frac{1}{2} \times \frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{32}{3} \text{ см}^2 ]

4. Общая площадь боковой поверхности

   Поскольку граней четыре, общая площадь равна:

   [ S_{\text{боковая поверхность}} = 4 \times \frac{32}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \text{ см}^2 ]

Чертеж: Для визуализации можно представить пирамиду с вершиной, соединенной с центром квадрата основания. Высота опускается перпендикулярно к центру этого квадрата. Апофема - это линия от вершины к середине любой стороны основания. Угол в 60 градусов делится апофемой пополам на два угла по 30 градусов. К сожалению, текстовый формат не позволяет вставить изображение, но его можно легко начертить, используя описанные параметры.