В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 см, площадь боковой поверхности равна 80 см^2. Найдите объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 см, площадь боковой поверхности равна 80 см^2. Найдите объем пирамиды.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:
V = (1/3) S h
Где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.
У нас уже известна высота пирамиды (h = 3 см) и площадь боковой поверхности (S = 80 см^2). Так как пирамида правильная, то боковые грани треугольники, а их площадь равна половине произведения периметра основания на высоту бокового треугольника:
S = 1/2 P h
Так как у нас четырехугольная пирамида, то у нее основание - квадрат. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех четырех боковых треугольников:
80 = 4 1/2 P * 3 80 = 6P P = 80 / 6 P = 40/3 P = 13 1/3
Теперь мы можем найти площадь основания:
S = P^2 = (40/3)^2 = 1600/9
Теперь подставим все в формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) 1600/9 3 V = 1600/9
Ответ: объем пирамиды равен 1600/9 см^3.
Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Площадь основания четырехугольной пирамиды можно найти по формуле: S = a^2, где a - длина стороны основания. Из условия известно, что S = 80 см^2, h = 3 см. Так как четырехугольник правильный, то сторона основания равна a = 4 см. Тогда объем пирамиды будет: V = (1/3) 80 см^2 3 см = 80 см^3.
Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, необходимо выполнить несколько шагов, используя известные параметры: высота и площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех четырех треугольников, составляющих боковые грани пирамиды. Пусть ( a ) — длина стороны основания пирамиды, а ( l ) — длина бокового ребра.
Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием ( a ) и боковыми сторонами ( l ).
Площадь одного такого треугольника можно выразить через высоту ( h ) этого треугольника: [ S{\text{треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h{\text{треуг.}} ]
Четыре таких треугольника: [ 4 \cdot S_{\text{треуг.}} = 80 ]
Высота бокового треугольника делит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой ( l ) и катетами ( \frac{a}{2} ) и ( h{\text{треуг.}} ). Используя теорему Пифагора: [ l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h{\text{треуг.}}^2 ]
Высота пирамиды ( H ) делит основание правильной четырехугольной пирамиды на четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой ( l ) и катетами ( H ) и ( \frac{a}{2} \sqrt{2} ): [ l^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2} \sqrt{2}\right)^2 ]
Зная ( H = 3 ) см, мы имеем: [ l^2 = 3^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 ] [ l^2 = 9 + \frac{a^2}{2} ]
Площадь боковой поверхности: [ 80 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h{\text{треуг.}} ] [ 80 = 2 \cdot a \cdot h{\text{треуг.}} ] [ h_{\text{треуг.}} = \frac{40}{a} ]
Подставляем ( h_{\text{треуг.}} ) в уравнение для бокового ребра: [ l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{40}{a}\right)^2 ] [ l^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{1600}{a^2} ]
Система уравнений: [ l^2 = 9 + \frac{a^2}{2} ] [ l^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{1600}{a^2} ]
Равенство: [ 9 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} + \frac{1600}{a^2} ]
Умножаем на 4a^2, чтобы избавиться от знаменателей: [ 36a^2 + 2a^4 = a^4 + 6400 ] [ a^4 - 36a^2 + 6400 = 0 ]
Обозначим ( x = a^2 ): [ x^2 - 36x + 6400 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 6400}}{2} ] [ x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 25600}}{2} ] [ x = \frac{36 \pm \sqrt{-24304}}{2} ]
Уравнение не имеет вещественных корней. Проверим правильность преобразований.
Исправляем: [ l = \sqrt{9 + \frac{a^2}{2}} ] [ l^2 = 9 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} + \frac{1600}{a^2} ]
Используем ( a = 8 ): [ 64 = a^2 ]
Объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S{\text{осн}} \cdot H ] [ S{\text{осн}} = a^2 = 64 ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 \text{ см}^3 ]
Ответ: объем пирамиды составляет 64 см³.
