В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов,длина бокового ребра 8 см.найдите объем пирамиды
Битый час уже пытаюсь разобраться (нашла похожее решение, но ничего не понятно) Мне нужно именно понять, а не решить. Спасибо.
Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды. В данном случае основание пирамиды - равносторонний треугольник, поэтому его площадь можно найти по формуле S = a^2 sqrt(3) / 4, где а - длина стороны основания (в данном случае a = 8 см). Далее, высоту пирамиды можно найти по формуле h = a sqrt(3) / 2, где a - длина бокового ребра (в данном случае a = 8 см). Подставив все значения в формулу для объема пирамиды, можно найти ответ.
Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, наклоненным к основанию под углом 60 градусов и длиной 8 см, можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) S h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, основание которой - равносторонний треугольник, то площадь основания можно найти по формуле:
S = (a^2 * sqrt(3))/4,
где a - длина стороны основания.
Для нахождения высоты пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас прямоугольный треугольник, в котором одна из сторон - половина бокового ребра, другая - высота пирамиды, а гипотенуза - боковое ребро. Таким образом, высоту можно найти по формуле:
h = a * sqrt(3)/2.
Подставив значения в формулу для объема пирамиды, можно найти искомый объем.
Для решения задачи найдем объем правильной треугольной пирамиды, зная, что боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов и их длина составляет 8 см.
Начнем с понимания того, что такое правильная треугольная пирамида. Это пирамида, у которой основание представляет собой равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Определим высоту пирамиды (обозначим ее как ( h )). Высота пирамиды соединяет вершину пирамиды с центром основания и перпендикулярна основанию. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол 60 градусов, что ключевое для решения.
Воспользуемся следующей идеей: если провести высоту из вершины бокового ребра к основанию, то получается прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро пирамиды (8 см), один из катетов — это искомая высота ( h ) пирамиды, а угол между гипотенузой и катетом — 60 градусов.
Воспользуемся определением синуса: [ \sin 60^\circ = \frac{h}{8} ] [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} ] [ h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]
Теперь найдем площадь основания пирамиды. Поскольку основание — равносторонний треугольник, площадь ( S ) треугольника с длиной стороны ( a ) можно найти по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] Но длину стороны ( a ) мы пока не знаем. Для ее нахождения вспомним, что центр равностороннего треугольника (точка, куда проецируется вершина) находится на расстоянии ( \frac{2}{3} ) от вершины к основанию медианы (которая также является высотой треугольника). Зная высоту пирамиды ( h = 4\sqrt{3} ) см, высота треугольника основания (обозначим ( H )) будет: [ H = \frac{3}{2} \cdot h = \frac{3}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} ] Зная высоту основания, найдем сторону ( a ) треугольника: [ H = \frac{\sqrt{3}}{2}a ] [ 6\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}a ] [ a = 12 \text{ см} ]
Теперь подставим ( a ) в формулу площади: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Наконец, найдем объем пирамиды ( V ) по формуле: [ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 36\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = 144 \text{ см}^3 ]
Таким образом, объем пирамиды равен 144 кубических сантиметра.
