В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16√3 см², а площадь основания 4√3 см². Найдите...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади поверхности правильной пирамиды:

S = (1/2) P l + S_osn,

где S - полная поверхность пирамиды, P - периметр основания, l - апофема, S_osn - площадь основания.

Из условия задачи у нас уже известны S и S_osn. Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 3 * сторона основания, и так как S_osn = 4√3 см², то сторона основания равна 2 см.

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения апофемы:

16√3 = (1/2) 3 2 * l + 4√3

16√3 = 3l + 4√3

12√3 = 3l

l = 4 см.

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, можем воспользоваться формулой для объема правильной пирамиды:

V = (1/3) S_osn h,

где V - объем пирамиды, S_osn - площадь основания, h - высота пирамиды.

Подставляем известные значения:

16√3 = (1/3) 4√3 h

16√3 = 4√3h

h = 4 см.

Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а высота пирамиды равна 4 см.

Для решения задачи начнем с анализа данных. Дано:

1. Полная поверхность пирамиды ( S_{\text{полн}} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).
2. Площадь основания ( S_{\text{осн}} = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

Сначала найдем площадь боковой поверхности пирамиды, вычтя из полной поверхности площадь основания: [ S{\text{бок}} = S{\text{полн}} - S_{\text{осн}} = 16\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Пирамида имеет правильное треугольное основание, то есть основание является правильным треугольником. Обозначим сторону основания через ( a ). Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: [ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. ]

Подставим известное значение площади основания: [ 4\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. ]

Решим это уравнение относительно ( a ): [ 4\sqrt{3} \cdot 4 = a^2 \sqrt{3}, ] [ 16\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}, ] [ a^2 = 16, ] [ a = 4 \, \text{см}. ]

Теперь найдем апофему боковой грани. Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равных треугольников, площадь каждого из которых можно найти как: [ S{\text{бок}} = 3 \cdot S{\text{бок1}}, ] где ( S_{\text{бок1}} ) — площадь одной боковой грани.

[ 12\sqrt{3} = 3 \cdot S{\text{бок1}}, ] [ S{\text{бок1}} = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием ( a = 4 \, \text{см} ) и высотой, равной апофеме пирамиды ( l ). Площадь такого треугольника равна: [ S_{\text{бок1}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l, ] [ 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot l, ] [ 4\sqrt{3} = 2l, ] [ l = 2\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Теперь найдем высоту пирамиды ( h ). Для этого воспользуемся треугольником, образованным высотой пирамиды, апофемой и радиусом описанной окружности основания (центр основания до середины стороны основания).

Радиус описанной окружности правильного треугольника вычисляется как: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см}. ]

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике высоты пирамиды, апофемы и радиуса описанной окружности: [ l^2 = h^2 + R^2, ] [ (2\sqrt{3})^2 = h^2 + \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^2, ] [ 12 = h^2 + \frac{16 \cdot 3}{9}, ] [ 12 = h^2 + \frac{16}{3}, ] [ 12 - \frac{16}{3} = h^2, ] [ \frac{36}{3} - \frac{16}{3} = h^2, ] [ \frac{20}{3} = h^2, ] [ h = \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \, \text{см}. ]

Ответ:

1. Апофема ( l = 2\sqrt{3} \, \text{см} ).
2. Высота пирамиды ( h = \frac{2\sqrt{15}}{3} \, \text{см} ).

Апофема и высота пирамиды равны 4 см.